Номер 27.30, страница 169, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.30. a) Известно, что $\cos t = \frac{3}{4}$, $0 < t < \frac{\pi}{2}$. Вычислите:

$\cos \frac{t}{2}$, $\sin \frac{t}{2}$, $\operatorname{tg} \frac{t}{2}$, $\operatorname{ctg} \frac{t}{2}$.

б) Известно, что $\operatorname{ctg} t = \frac{3}{4}$, $\pi < t < \frac{3\pi}{2}$. Вычислите:

$\cos \frac{t}{2}$, $\sin \frac{t}{2}$, $\operatorname{tg} \frac{t}{2}$, $\operatorname{ctg} \frac{t}{2}$.

а)

По условию дано, что $ \cos t = \frac{3}{4} $ и угол $t$ находится в интервале $ 0 < t < \frac{\pi}{2} $.

Сначала определим, в какой четверти находится угол $ \frac{t}{2} $. Для этого разделим неравенство на 2: $ 0 < \frac{t}{2} < \frac{\pi}{4} $. Это означает, что угол $ \frac{t}{2} $ находится в первой координатной четверти. В первой четверти все тригонометрические функции ($ \cos, \sin, \operatorname{tg}, \operatorname{ctg} $) имеют положительные значения.

Для вычислений будем использовать формулы половинного угла.

Вычислим $ \cos \frac{t}{2} $:

$ \cos^2 \frac{t}{2} = \frac{1 + \cos t}{2} = \frac{1 + \frac{3}{4}}{2} = \frac{\frac{4+3}{4}}{2} = \frac{\frac{7}{4}}{2} = \frac{7}{8} $

Так как $ \frac{t}{2} $ находится в первой четверти, $ \cos \frac{t}{2} $ положителен.$ \cos \frac{t}{2} = \sqrt{\frac{7}{8}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{4} $.

Вычислим $ \sin \frac{t}{2} $:

$ \sin^2 \frac{t}{2} = \frac{1 - \cos t}{2} = \frac{1 - \frac{3}{4}}{2} = \frac{\frac{4-3}{4}}{2} = \frac{\frac{1}{4}}{2} = \frac{1}{8} $

Так как $ \frac{t}{2} $ находится в первой четверти, $ \sin \frac{t}{2} $ положителен.$ \sin \frac{t}{2} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} $.

Вычислим $ \operatorname{tg} \frac{t}{2} $:

$ \operatorname{tg} \frac{t}{2} = \frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{14}}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{2}{14}} = \sqrt{\frac{1}{7}} = \frac{1}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{7} $.

Вычислим $ \operatorname{ctg} \frac{t}{2} $:

$ \operatorname{ctg} \frac{t}{2} = \frac{1}{\operatorname{tg} \frac{t}{2}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{7}} = \frac{7}{\sqrt{7}} = \sqrt{7} $.

Ответ: $ \cos \frac{t}{2} = \frac{\sqrt{14}}{4} $, $ \sin \frac{t}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} $, $ \operatorname{tg} \frac{t}{2} = \frac{\sqrt{7}}{7} $, $ \operatorname{ctg} \frac{t}{2} = \sqrt{7} $.

б)

По условию дано, что $ \operatorname{ctg} t = \frac{3}{4} $ и угол $t$ находится в интервале $ \pi < t < \frac{3\pi}{2} $.

Сначала определим, в какой четверти находится угол $ \frac{t}{2} $. Разделив неравенство на 2, получим: $ \frac{\pi}{2} < \frac{t}{2} < \frac{3\pi}{4} $. Это означает, что угол $ \frac{t}{2} $ находится во второй координатной четверти. Во второй четверти $ \sin \frac{t}{2} > 0 $, а $ \cos \frac{t}{2} < 0 $, $ \operatorname{tg} \frac{t}{2} < 0 $, $ \operatorname{ctg} \frac{t}{2} < 0 $.

Для использования формул половинного угла нам необходимо найти значение $ \cos t $. Угол $t$ находится в третьей четверти, где и синус, и косинус отрицательны. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ 1 + \operatorname{ctg}^2 t = \frac{1}{\sin^2 t} $.

$ \frac{1}{\sin^2 t} = 1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 + \frac{9}{16} = \frac{16+9}{16} = \frac{25}{16} $

Отсюда $ \sin^2 t = \frac{16}{25} $. Так как $t$ в третьей четверти, $ \sin t < 0 $, следовательно $ \sin t = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5} $.

Теперь найдем $ \cos t $ по формуле $ \operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t} $:

$ \cos t = \sin t \cdot \operatorname{ctg} t = \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \frac{3}{4} = -\frac{3}{5} $.

Теперь, зная $ \cos t $, мы можем вычислить значения для $ \frac{t}{2} $.

Вычислим $ \cos \frac{t}{2} $:

$ \cos^2 \frac{t}{2} = \frac{1 + \cos t}{2} = \frac{1 + (-\frac{3}{5})}{2} = \frac{1 - \frac{3}{5}}{2} = \frac{\frac{2}{5}}{2} = \frac{1}{5} $

Так как $ \frac{t}{2} $ во второй четверти, $ \cos \frac{t}{2} $ отрицателен: $ \cos \frac{t}{2} = -\sqrt{\frac{1}{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5} $.

Вычислим $ \sin \frac{t}{2} $:

$ \sin^2 \frac{t}{2} = \frac{1 - \cos t}{2} = \frac{1 - (-\frac{3}{5})}{2} = \frac{1 + \frac{3}{5}}{2} = \frac{\frac{8}{5}}{2} = \frac{4}{5} $

Так как $ \frac{t}{2} $ во второй четверти, $ \sin \frac{t}{2} $ положителен: $ \sin \frac{t}{2} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} $.

Вычислим $ \operatorname{tg} \frac{t}{2} $:

$ \operatorname{tg} \frac{t}{2} = \frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}} = \frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{-\frac{\sqrt{5}}{5}} = -2 $.

Вычислим $ \operatorname{ctg} \frac{t}{2} $:

$ \operatorname{ctg} \frac{t}{2} = \frac{1}{\operatorname{tg} \frac{t}{2}} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} $.

Ответ: $ \cos \frac{t}{2} = -\frac{\sqrt{5}}{5} $, $ \sin \frac{t}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{5} $, $ \operatorname{tg} \frac{t}{2} = -2 $, $ \operatorname{ctg} \frac{t}{2} = -\frac{1}{2} $.