Номер 27.25, страница 168, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.25. a) $\cos \frac{\pi}{33} \cos \frac{2\pi}{33} \cos \frac{4\pi}{33} \cos \frac{8\pi}{33} \cos \frac{16\pi}{33};$

б) $\cos \frac{\pi}{65} \cos \frac{2\pi}{65} \cos \frac{4\pi}{65} \cos \frac{8\pi}{65} \cos \frac{16\pi}{65} \cos \frac{32\pi}{65}.$

а)

Обозначим данное выражение как $P_a$. $P_a = \cos\frac{\pi}{33} \cos\frac{2\pi}{33} \cos\frac{4\pi}{33} \cos\frac{8\pi}{33} \cos\frac{16\pi}{33}$.

Для вычисления этого произведения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$, из которой следует, что $\cos(\alpha) = \frac{\sin(2\alpha)}{2\sin(\alpha)}$.

Умножим и разделим исходное выражение на $2\sin\frac{\pi}{33}$. Заметим, что $\sin\frac{\pi}{33} \neq 0$. $P_a = \frac{1}{2\sin\frac{\pi}{33}} \left( 2\sin\frac{\pi}{33}\cos\frac{\pi}{33} \right) \cos\frac{2\pi}{33} \cos\frac{4\pi}{33} \cos\frac{8\pi}{33} \cos\frac{16\pi}{33}$

Применяя формулу синуса двойного угла к выражению в скобках, получаем: $P_a = \frac{1}{2\sin\frac{\pi}{33}} \left( \sin\frac{2\pi}{33} \right) \cos\frac{2\pi}{33} \cos\frac{4\pi}{33} \cos\frac{8\pi}{33} \cos\frac{16\pi}{33}$

Повторяя эту операцию последовательно, мы будем сворачивать произведение: $P_a = \frac{1}{2 \cdot 2\sin\frac{\pi}{33}} \left( 2\sin\frac{2\pi}{33} \cos\frac{2\pi}{33} \right) \dots = \frac{1}{4\sin\frac{\pi}{33}} \sin\frac{4\pi}{33} \cos\frac{4\pi}{33} \dots$

Этот процесс продолжается для всех множителей. В общем виде, для произведения $n$ косинусов вида $\prod_{k=0}^{n-1} \cos(2^k x)$ справедлива формула: $\prod_{k=0}^{n-1} \cos(2^k x) = \frac{\sin(2^n x)}{2^n \sin(x)}$.

В нашем случае $n=5$ (пять множителей) и $x = \frac{\pi}{33}$. Применяем формулу: $P_a = \frac{\sin(2^5 \cdot \frac{\pi}{33})}{2^5 \sin(\frac{\pi}{33})} = \frac{\sin(\frac{32\pi}{33})}{32\sin(\frac{\pi}{33})}$

Теперь используем формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$: $\sin\left(\frac{32\pi}{33}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{33}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{33}\right)$

Подставляем это значение обратно в выражение: $P_a = \frac{\sin(\frac{\pi}{33})}{32\sin(\frac{\pi}{33})} = \frac{1}{32}$

Ответ: $\frac{1}{32}$

б)

Обозначим данное выражение как $P_б$. $P_б = \cos\frac{\pi}{65} \cos\frac{2\pi}{65} \cos\frac{4\pi}{65} \cos\frac{8\pi}{65} \cos\frac{16\pi}{65} \cos\frac{32\pi}{65}$.

Эта задача решается аналогично пункту а). Мы имеем дело с произведением косинусов, углы которых образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2.

Воспользуемся общей формулой, выведенной ранее: $\prod_{k=0}^{n-1} \cos(2^k x) = \frac{\sin(2^n x)}{2^n \sin(x)}$.

В данном случае у нас 6 множителей, поэтому $n=6$, а базовый угол $x = \frac{\pi}{65}$. $P_б = \frac{\sin(2^6 \cdot \frac{\pi}{65})}{2^6 \sin(\frac{\pi}{65})} = \frac{\sin(\frac{64\pi}{65})}{64\sin(\frac{\pi}{65})}$

Применяем формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$: $\sin\left(\frac{64\pi}{65}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{65}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{65}\right)$

Подставляем полученный результат в выражение для $P_б$: $P_б = \frac{\sin(\frac{\pi}{65})}{64\sin(\frac{\pi}{65})} = \frac{1}{64}$

Ответ: $\frac{1}{64}$