Номер 27.20, страница 168, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.20. a) $sin 11^{\circ}15' cos 11^{\circ}15' cos 22^{\circ}30' cos 45^{\circ}$;

б) $sin \frac{\pi}{48} cos \frac{\pi}{48} cos \frac{\pi}{24} cos \frac{\pi}{12}$.

а)

Для решения данного выражения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2 \cdot sin(\alpha) \cdot cos(\alpha)$, из которой следует, что $sin(\alpha) \cdot cos(\alpha) = \frac{1}{2} sin(2\alpha)$.

Рассмотрим выражение: $sin 11^\circ15' \cdot cos 11^\circ15' \cdot cos 22^\circ30' \cdot cos 45^\circ$.

Сгруппируем первые два множителя и применим формулу, где $\alpha = 11^\circ15'$:

$sin 11^\circ15' \cdot cos 11^\circ15' = \frac{1}{2} sin(2 \cdot 11^\circ15') = \frac{1}{2} sin(22^\circ30')$.

Подставим полученное значение обратно в выражение:

$\frac{1}{2} sin(22^\circ30') \cdot cos(22^\circ30') \cdot cos(45^\circ)$.

Снова применим ту же формулу для $sin(22^\circ30') \cdot cos(22^\circ30')$, где $\alpha = 22^\circ30'$:

$sin(22^\circ30') \cdot cos(22^\circ30') = \frac{1}{2} sin(2 \cdot 22^\circ30') = \frac{1}{2} sin(45^\circ)$.

Подставим это в наше выражение:

$\frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{2} sin(45^\circ) \right) \cdot cos(45^\circ) = \frac{1}{4} sin(45^\circ) \cdot cos(45^\circ)$.

И еще раз применим формулу для $sin(45^\circ) \cdot cos(45^\circ)$, где $\alpha = 45^\circ$:

$sin(45^\circ) \cdot cos(45^\circ) = \frac{1}{2} sin(2 \cdot 45^\circ) = \frac{1}{2} sin(90^\circ)$.

Окончательно получаем:

$\frac{1}{4} \cdot \left( \frac{1}{2} sin(90^\circ) \right) = \frac{1}{8} sin(90^\circ)$.

Зная, что $sin(90^\circ) = 1$, находим результат:

$\frac{1}{8} \cdot 1 = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$.

б)

Данная задача решается аналогично предыдущей, с использованием формулы синуса двойного угла: $sin(\alpha) \cdot cos(\alpha) = \frac{1}{2} sin(2\alpha)$.

Рассмотрим выражение: $sin\frac{\pi}{48} \cdot cos\frac{\pi}{48} \cdot cos\frac{\pi}{24} \cdot cos\frac{\pi}{12}$.

Применим формулу к первым двум множителям, где $\alpha = \frac{\pi}{48}$:

$sin\frac{\pi}{48} \cdot cos\frac{\pi}{48} = \frac{1}{2} sin(2 \cdot \frac{\pi}{48}) = \frac{1}{2} sin\frac{\pi}{24}$.

Подставим результат в исходное выражение:

$\frac{1}{2} sin\frac{\pi}{24} \cdot cos\frac{\pi}{24} \cdot cos\frac{\pi}{12}$.

Снова применим формулу синуса двойного угла, где $\alpha = \frac{\pi}{24}$:

$sin\frac{\pi}{24} \cdot cos\frac{\pi}{24} = \frac{1}{2} sin(2 \cdot \frac{\pi}{24}) = \frac{1}{2} sin\frac{\pi}{12}$.

Выражение принимает вид:

$\frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{2} sin\frac{\pi}{12} \right) \cdot cos\frac{\pi}{12} = \frac{1}{4} sin\frac{\pi}{12} \cdot cos\frac{\pi}{12}$.

Применим формулу в третий раз, где $\alpha = \frac{\pi}{12}$:

$sin\frac{\pi}{12} \cdot cos\frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} sin(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = \frac{1}{2} sin\frac{\pi}{6}$.

Подставим и получим окончательное выражение:

$\frac{1}{4} \cdot \left( \frac{1}{2} sin\frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{8} sin\frac{\pi}{6}$.

Зная табличное значение $sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, вычисляем ответ:

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16}$.

Ответ: $\frac{1}{16}$.