Номер 27.17, страница 167, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.17. Проверьте числовое равенство:

a) $sin 18^\circ \cos 18^\circ \cos 36^\circ = \frac{1}{4} \sin 72^\circ;$

б) $sin 18^\circ \cos 36^\circ = \frac{1}{4}.$

а) Проверим равенство $ \sin 18^\circ \cos 18^\circ \cos 36^\circ = \frac{1}{4}\sin 72^\circ $.

Преобразуем левую часть равенства, последовательно используя формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha $, из которой следует, что $ \sin\alpha \cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha) $.

1. Сначала применим формулу к произведению $ \sin 18^\circ \cos 18^\circ $:

$ \sin 18^\circ \cos 18^\circ = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 18^\circ) = \frac{1}{2}\sin 36^\circ $.

2. Подставим полученное выражение обратно в левую часть исходного равенства:

$ (\sin 18^\circ \cos 18^\circ) \cos 36^\circ = \left(\frac{1}{2}\sin 36^\circ\right) \cos 36^\circ = \frac{1}{2} \sin 36^\circ \cos 36^\circ $.

3. Теперь снова применим формулу синуса двойного угла для произведения $ \sin 36^\circ \cos 36^\circ $:

$ \frac{1}{2} (\sin 36^\circ \cos 36^\circ) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 36^\circ) \right) = \frac{1}{4}\sin 72^\circ $.

Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства к виду правой части: $ \frac{1}{4}\sin 72^\circ = \frac{1}{4}\sin 72^\circ $. Равенство доказано.

Ответ: Равенство верное.

б) Проверим равенство $ \sin 18^\circ \cos 36^\circ = \frac{1}{4} $.

Для доказательства умножим и разделим левую часть на $ 2\cos 18^\circ $ (это допустимо, так как $ \cos 18^\circ \neq 0 $):

$ \sin 18^\circ \cos 36^\circ = \frac{2 \sin 18^\circ \cos 18^\circ \cos 36^\circ}{2 \cos 18^\circ} $.

В числителе используем формулу синуса двойного угла $ 2 \sin\alpha \cos\alpha = \sin(2\alpha) $ для $ \alpha = 18^\circ $:

$ 2 \sin 18^\circ \cos 18^\circ = \sin(2 \cdot 18^\circ) = \sin 36^\circ $.

Подставив это в наше выражение, получим:

$ \frac{\sin 36^\circ \cos 36^\circ}{2 \cos 18^\circ} $.

Теперь преобразуем числитель $ \sin 36^\circ \cos 36^\circ $. Снова воспользуемся формулой синуса двойного угла, для чего умножим и разделим дробь на 2:

$ \frac{2 \sin 36^\circ \cos 36^\circ}{2 \cdot 2 \cos 18^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 36^\circ)}{4 \cos 18^\circ} = \frac{\sin 72^\circ}{4 \cos 18^\circ} $.

Применим формулу приведения $ \sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha $. В нашем случае $ \sin 72^\circ = \sin(90^\circ - 18^\circ) = \cos 18^\circ $.

Подставим это значение в дробь:

$ \frac{\cos 18^\circ}{4 \cos 18^\circ} $.

Сократив $ \cos 18^\circ $ в числителе и знаменателе, получаем $ \frac{1}{4} $.

Таким образом, левая часть равна правой: $ \frac{1}{4} = \frac{1}{4} $. Равенство доказано.

Ответ: Равенство верное.