Номер 27.15, страница 167, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.15. a) $ \cos^2 t - \cos^2 \left(\frac{\pi}{4} - t\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left(\frac{\pi}{4} - 2t\right); $

б) $ \sin^2 t - \sin^2 \left(\frac{\pi}{4} - t\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left(2t - \frac{\pi}{4}\right). $

Для доказательства этих тождеств удобнее всего использовать формулы понижения степени или формулу разности квадратов. Воспользуемся формулами понижения степени:

$$\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}, \quad \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$$

а) $\cos^2 t - \cos^2 (\frac{\pi}{4} - t) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin (\frac{\pi}{4} - 2t)$

Преобразуем левую часть (ЛЧ):

ЛЧ $= \frac{1 + \cos 2t}{2} - \frac{1 + \cos(\frac{\pi}{2} - 2t)}{2}$

По формуле приведения $\cos(\frac{\pi}{2} - 2t) = \sin 2t$. Получаем:

ЛЧ $= \frac{1 + \cos 2t - 1 - \sin 2t}{2} = \frac{\cos 2t - \sin 2t}{2}$

Теперь преобразуем правую часть (ПЧ), раскрыв синус разности:

ПЧ $= \frac{1}{\sqrt{2}} (\sin \frac{\pi}{4} \cos 2t - \cos \frac{\pi}{4} \sin 2t) = \frac{1}{\sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos 2t - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin 2t)$

ПЧ $= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot 2} \cos 2t - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot 2} \sin 2t = \frac{\cos 2t - \sin 2t}{2}$

ЛЧ = ПЧ. Тождество доказано.

б) $\sin^2 t - \sin^2 (\frac{\pi}{4} - t) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin (2t - \frac{\pi}{4})$

Преобразуем левую часть (ЛЧ) через разность квадратов $\sin^2 \alpha - \sin^2 \beta = \sin(\alpha - \beta)\sin(\alpha + \beta)$:

ЛЧ $= \sin(t - (\frac{\pi}{4} - t)) \cdot \sin(t + \frac{\pi}{4} - t) = \sin(2t - \frac{\pi}{4}) \cdot \sin \frac{\pi}{4}$

Подставим табличное значение $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

ЛЧ $= \frac{\sqrt{2}}{2} \sin(2t - \frac{\pi}{4})$

Заметим, что коэффициент $\frac{\sqrt{2}}{2}$ это то же самое, что $\frac{1}{\sqrt{2}}$ (если избавиться от иррациональности в знаменателе):

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Следовательно: ЛЧ $= \frac{1}{\sqrt{2}} \sin(2t - \frac{\pi}{4})$

Это полностью совпадает с правой частью уравнения.

ЛЧ = ПЧ. Тождество доказано.