Номер 27.8, страница 166, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Докажите тождество:

27.8. a) $(\sin t - \cos t)^2 = 1 - \sin 2t;$

б) $\cos^4 t - \sin^4 t = \cos 2t;$

в) $(\sin t + \cos t)^2 = 1 + \sin 2t;$

г) $\cos^4 t - \sin^4 t = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2t.$

а) Докажем тождество $(\sin t - \cos t)^2 = 1 - \sin 2t$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(\sin t - \cos t)^2 = \sin^2 t - 2\sin t \cos t + \cos^2 t$

Сгруппируем слагаемые:

$(\sin^2 t + \cos^2 t) - 2\sin t \cos t$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2t = 2\sin t \cos t$.

Подставив эти значения в выражение, получаем:

$1 - \sin 2t$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Докажем тождество $\cos^4 t - \sin^4 t = \cos 2t$.

Преобразуем левую часть, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. В нашем случае $a = \cos^2 t$ и $b = \sin^2 t$.

$\cos^4 t - \sin^4 t = (\cos^2 t)^2 - (\sin^2 t)^2 = (\cos^2 t - \sin^2 t)(\cos^2 t + \sin^2 t)$

Теперь применим два тригонометрических тождества:

1. Формула косинуса двойного угла: $\cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t$.

2. Основное тригонометрическое тождество: $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$.

Подставив их в наше выражение, получаем:

$(\cos 2t) \cdot 1 = \cos 2t$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

в) Докажем тождество $(\sin t + \cos t)^2 = 1 + \sin 2t$.

Преобразуем левую часть равенства. Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\sin t + \cos t)^2 = \sin^2 t + 2\sin t \cos t + \cos^2 t$

Сгруппируем слагаемые:

$(\sin^2 t + \cos^2 t) + 2\sin t \cos t$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2t = 2\sin t \cos t$.

Подставив эти значения в выражение, получаем:

$1 + \sin 2t$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

г) Рассмотрим равенство $\cos^4 t - \sin^4 t = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2t$.

В пункте б) мы уже доказали, что левая часть этого равенства, $\cos^4 t - \sin^4 t$, тождественно равна $\cos 2t$. Следовательно, данное равенство можно переписать в виде:

$\cos 2t = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2t$

Проверим, является ли это равенство тождеством. Для этого подставим в него какое-либо значение $t$, например, $t = \frac{\pi}{4}$.

Левая часть: $\cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Правая часть: $1 - \frac{1}{2}\sin^2(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(\frac{\pi}{2}) = 1 - \frac{1}{2}(1)^2 = \frac{1}{2}$.

Поскольку $0 \neq \frac{1}{2}$, данное равенство не является тождеством. В условии задачи, скорее всего, допущена опечатка. Наиболее вероятным является тождество $\cos^4 t + \sin^4 t = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2t$. Докажем его.

Преобразуем левую часть $\cos^4 t + \sin^4 t$, выделив полный квадрат:

$\cos^4 t + \sin^4 t = (\cos^4 t + 2\cos^2 t \sin^2 t + \sin^4 t) - 2\cos^2 t \sin^2 t$

Первые три слагаемых образуют квадрат суммы:

$(\cos^2 t + \sin^2 t)^2 - 2\cos^2 t \sin^2 t$

Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$, получаем:

$1^2 - 2\cos^2 t \sin^2 t = 1 - 2(\sin t \cos t)^2$

Теперь воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin 2t = 2\sin t \cos t$. Из нее следует, что $\sin t \cos t = \frac{1}{2}\sin 2t$. Подставим это в наше выражение:

$1 - 2\left(\frac{1}{2}\sin 2t\right)^2 = 1 - 2\left(\frac{1}{4}\sin^2 2t\right) = 1 - \frac{2}{4}\sin^2 2t = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2t$

Таким образом, мы доказали тождество $\cos^4 t + \sin^4 t = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2t$.

Ответ: Равенство, представленное в условии, не является тождеством. Вероятно, в условии опечатка, и правильное тождество $\cos^4 t + \sin^4 t = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2t$ доказано выше.