Номер 27.11, страница 166, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.11. a) $1 + \sin \alpha = 2 \cos^2 \left(45^\circ - \frac{\alpha}{2}\right);$

б) $2 \sin^2(45^\circ - \alpha) + \sin 2\alpha = 1;$

в) $1 - \sin \alpha = 2 \sin^2 \left(45^\circ - \frac{\alpha}{2}\right);$

г) $2 \cos^2(45^\circ + \alpha) + \sin 2\alpha = 1.$

а) Докажем тождество $1 + \sin \alpha = 2 \cos^2(45^\circ - \frac{\alpha}{2})$.

Для доказательства преобразуем правую часть равенства. Воспользуемся формулой понижения степени для косинуса (или формулой косинуса двойного угла): $2\cos^2(x) = 1 + \cos(2x)$.

В данном случае, аргумент $x = 45^\circ - \frac{\alpha}{2}$. Подставим его в формулу:

$2 \cos^2(45^\circ - \frac{\alpha}{2}) = 1 + \cos(2 \cdot (45^\circ - \frac{\alpha}{2}))$.

Упростим выражение в аргументе косинуса:

$2 \cdot (45^\circ - \frac{\alpha}{2}) = 90^\circ - \alpha$.

Таким образом, правая часть преобразуется к виду:

$1 + \cos(90^\circ - \alpha)$.

По формуле приведения, $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha$.

В итоге получаем:

$1 + \sin \alpha$.

Мы преобразовали правую часть тождества к левой. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

б) Докажем тождество $2 \sin^2(45^\circ - \alpha) + \sin 2\alpha = 1$.

Преобразуем левую часть равенства. Воспользуемся формулой понижения степени для синуса (или формулой косинуса двойного угла): $2\sin^2(x) = 1 - \cos(2x)$.

Здесь аргумент $x = 45^\circ - \alpha$. Подставим его в формулу:

$2 \sin^2(45^\circ - \alpha) = 1 - \cos(2 \cdot (45^\circ - \alpha))$.

Упростим выражение в аргументе косинуса:

$2 \cdot (45^\circ - \alpha) = 90^\circ - 2\alpha$.

Тогда первое слагаемое левой части равно:

$1 - \cos(90^\circ - 2\alpha)$.

Используя формулу приведения $\cos(90^\circ - \beta) = \sin \beta$, где $\beta = 2\alpha$, получаем:

$1 - \sin 2\alpha$.

Теперь подставим это выражение обратно в левую часть исходного тождества:

$(1 - \sin 2\alpha) + \sin 2\alpha = 1 - \sin 2\alpha + \sin 2\alpha = 1$.

Левая часть равна правой. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

в) Докажем тождество $1 - \sin \alpha = 2 \sin^2(45^\circ - \frac{\alpha}{2})$.

Преобразуем правую часть равенства, используя формулу понижения степени для синуса: $2\sin^2(x) = 1 - \cos(2x)$.

В данном случае, $x = 45^\circ - \frac{\alpha}{2}$. Подставляем в формулу:

$2 \sin^2(45^\circ - \frac{\alpha}{2}) = 1 - \cos(2 \cdot (45^\circ - \frac{\alpha}{2}))$.

Упрощаем аргумент косинуса:

$2 \cdot (45^\circ - \frac{\alpha}{2}) = 90^\circ - \alpha$.

Правая часть принимает вид:

$1 - \cos(90^\circ - \alpha)$.

По формуле приведения, $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha$.

В итоге получаем:

$1 - \sin \alpha$.

Правая часть тождества преобразована к левой. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

г) Докажем тождество $2 \cos^2(45^\circ + \alpha) + \sin 2\alpha = 1$.

Преобразуем левую часть равенства. Применим формулу понижения степени для косинуса: $2\cos^2(x) = 1 + \cos(2x)$.

Здесь $x = 45^\circ + \alpha$. Подставляем в формулу:

$2 \cos^2(45^\circ + \alpha) = 1 + \cos(2 \cdot (45^\circ + \alpha))$.

Упрощаем аргумент косинуса:

$2 \cdot (45^\circ + \alpha) = 90^\circ + 2\alpha$.

Первое слагаемое левой части равно:

$1 + \cos(90^\circ + 2\alpha)$.

Используя формулу приведения $\cos(90^\circ + \beta) = -\sin \beta$, где $\beta = 2\alpha$, получаем:

$1 - \sin 2\alpha$.

Подставим полученное выражение в левую часть исходного равенства:

$(1 - \sin 2\alpha) + \sin 2\alpha = 1 - \sin 2\alpha + \sin 2\alpha = 1$.

Левая часть равна правой. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.