Номер 27.14, страница 167, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.14. a) $\frac{1 - \cos 2t + \sin 2t}{1 + \sin 2t + \cos 2t} = \operatorname{tg} t;$

б) $\frac{1 + \cos 2t - \sin 2t}{1 + \sin 2t + \cos 2t} = \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{4} - t\right).$

a)

Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулами двойного угла, а именно следствиями из формулы косинуса двойного угла и формулой синуса двойного угла:

$1 - \cos 2t = 2 \sin^2 t$

$1 + \cos 2t = 2 \cos^2 t$

$\sin 2t = 2 \sin t \cos t$

Подставим эти выражения в левую часть равенства:

$\frac{1 - \cos 2t + \sin 2t}{1 + \sin 2t + \cos 2t} = \frac{(1 - \cos 2t) + \sin 2t}{(1 + \cos 2t) + \sin 2t} = \frac{2 \sin^2 t + 2 \sin t \cos t}{2 \cos^2 t + 2 \sin t \cos t}$

Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе:

$\frac{2 \sin t (\sin t + \cos t)}{2 \cos t (\cos t + \sin t)}$

Сократим дробь на общий множитель $2(\sin t + \cos t)$, который не должен быть равен нулю (что соответствует области допустимых значений исходного выражения):

$\frac{\sin t}{\cos t} = \text{tg} \, t$

Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Преобразуем левую часть равенства. Знаменатель дроби такой же, как и в пункте а), и мы уже знаем, что он равен:

$1 + \sin 2t + \cos 2t = 2 \cos t (\cos t + \sin t)$

Теперь преобразуем числитель, используя те же формулы двойного угла:

$1 + \cos 2t - \sin 2t = (1 + \cos 2t) - \sin 2t = 2 \cos^2 t - 2 \sin t \cos t$

Вынесем общий множитель $2 \cos t$ за скобки в числителе:

$2 \cos t (\cos t - \sin t)$

Подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$\frac{2 \cos t (\cos t - \sin t)}{2 \cos t (\cos t + \sin t)}$

Сократим дробь на $2 \cos t$ (при условии, что $\cos t \neq 0$):

$\frac{\cos t - \sin t}{\cos t + \sin t}$

Чтобы получить тангенс, разделим числитель и знаменатель на $\cos t$:

$\frac{\frac{\cos t}{\cos t} - \frac{\sin t}{\cos t}}{\frac{\cos t}{\cos t} + \frac{\sin t}{\cos t}} = \frac{1 - \text{tg} \, t}{1 + \text{tg} \, t}$

Теперь преобразуем правую часть исходного тождества, используя формулу тангенса разности $\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg} \, \alpha - \text{tg} \, \beta}{1 + \text{tg} \, \alpha \text{tg} \, \beta}$:

$\text{tg}\left(\frac{\pi}{4} - t\right) = \frac{\text{tg}\frac{\pi}{4} - \text{tg} \, t}{1 + \text{tg}\frac{\pi}{4} \cdot \text{tg} \, t}$

Так как $\text{tg}\frac{\pi}{4} = 1$, получаем:

$\frac{1 - \text{tg} \, t}{1 + \text{tg} \, t}$

Мы показали, что левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.