Номер 27.7, страница 166, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.7. a) $ \frac{2}{\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t} $;

б) $ \frac{2}{\operatorname{tg} t - \operatorname{ctg} t} $;

В) $ (1 - \operatorname{tg}^2 t) \cos^2 t $;

Г) $ (\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t) \sin 2t $.

а)

Упростим выражение $\frac{2}{\tg t + \ctg t}$.

Сначала представим тангенс и котангенс через синус и косинус: $\tg t = \frac{\sin t}{\cos t}$ и $\ctg t = \frac{\cos t}{\sin t}$.

Подставим эти выражения в знаменатель:

$\tg t + \ctg t = \frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t}$

Приведем дроби к общему знаменателю $\sin t \cos t$:

$\frac{\sin t \cdot \sin t + \cos t \cdot \cos t}{\sin t \cos t} = \frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\sin t \cos t}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, получаем:

$\frac{1}{\sin t \cos t}$

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходную дробь:

$\frac{2}{\frac{1}{\sin t \cos t}} = 2 \sin t \cos t$

Используя формулу синуса двойного угла $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$, окончательно получаем:

$\sin 2t$

Ответ: $\sin 2t$

б)

Упростим выражение $\frac{2}{\tg t - \ctg t}$.

Аналогично предыдущему пункту, заменим тангенс и котангенс:

$\tg t - \ctg t = \frac{\sin t}{\cos t} - \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{\sin^2 t - \cos^2 t}{\sin t \cos t}$

Вынесем минус за скобки в числителе, чтобы использовать формулу косинуса двойного угла $\cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t$:

$\frac{-(\cos^2 t - \sin^2 t)}{\sin t \cos t} = \frac{-\cos 2t}{\sin t \cos t}$

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{2}{\frac{-\cos 2t}{\sin t \cos t}} = \frac{2 \sin t \cos t}{-\cos 2t}$

В числителе используем формулу синуса двойного угла $2 \sin t \cos t = \sin 2t$:

$\frac{\sin 2t}{-\cos 2t} = -\tg 2t$

Ответ: $-\tg 2t$

в)

Упростим выражение $(1 - \tg^2 t) \cos^2 t$.

Заменим $\tg^2 t$ на $\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}$:

$(1 - \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}) \cos^2 t$

Раскроем скобки, умножив каждый член на $\cos^2 t$:

$1 \cdot \cos^2 t - \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} \cdot \cos^2 t = \cos^2 t - \sin^2 t$

Полученное выражение является формулой косинуса двойного угла:

$\cos^2 t - \sin^2 t = \cos 2t$

Ответ: $\cos 2t$

г)

Упростим выражение $(\tg t + \ctg t) \sin 2t$.

Из решения пункта а) мы знаем, что $\tg t + \ctg t = \frac{1}{\sin t \cos t}$. Подставим это в выражение:

$(\frac{1}{\sin t \cos t}) \sin 2t$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$:

$\frac{1}{\sin t \cos t} \cdot (2 \sin t \cos t)$

Сократим $\sin t \cos t$ в числителе и знаменателе:

$2$

Ответ: $2$