Номер 26.37, страница 165, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

26.37. Постройте график функции:

а) $y = \arcsin (\sin x)$;

б) $y = \arcsin (\cos x)$.

а) $y = \arcsin(\sin x)$

1. Область определения и область значений.
Функция $\sin x$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$ и ее значения принадлежат отрезку $[-1, 1]$. Функция $\arcsin(u)$ определена для $u \in [-1, 1]$. Следовательно, область определения функции $y = \arcsin(\sin x)$ — все действительные числа, $D(y) = \mathbb{R}$.
Область значений функции арксинус — отрезок $[-\pi/2, \pi/2]$. Таким образом, область значений данной функции $E(y) = [-\pi/2, \pi/2]$.

2. Периодичность.
Функция $\sin x$ является периодической с основным периодом $T = 2\pi$. Следовательно, и функция $y = \arcsin(\sin x)$ является периодической с периодом $T = 2\pi$, так как $\arcsin(\sin(x+2\pi)) = \arcsin(\sin x)$. Это позволяет нам построить график на одном периоде, например, на отрезке $[-\pi/2, 3\pi/2]$ длиной $2\pi$, а затем продолжить его на всю числовую ось.

3. Упрощение функции на различных интервалах.
По определению арксинуса, $\arcsin(\sin x) = x$ только при условии, что $x \in [-\pi/2, \pi/2]$. На этом отрезке график функции совпадает с графиком прямой $y=x$.
Рассмотрим следующий отрезок $[\pi/2, 3\pi/2]$. Для $x$, принадлежащего этому отрезку, значение $x$ не попадает в область значений арксинуса. Используем формулу приведения: $\sin x = \sin(\pi - x)$.
Если $x \in [\pi/2, 3\pi/2]$, то $\pi - x \in [\pi - 3\pi/2, \pi - \pi/2]$, то есть $\pi - x \in [-\pi/2, \pi/2]$.
Поскольку $\pi - x$ теперь принадлежит нужному отрезку, мы можем записать: $y = \arcsin(\sin x) = \arcsin(\sin(\pi - x)) = \pi - x$.
Итак, на отрезке $[\pi/2, 3\pi/2]$ график функции совпадает с графиком прямой $y = \pi - x$.

4. Построение графика.
Мы получили кусочно-линейную функцию.

• На отрезке $[-\pi/2, \pi/2]$ строим график $y=x$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(-\pi/2, -\pi/2)$ и $(\pi/2, \pi/2)$.
• На отрезке $[\pi/2, 3\pi/2]$ строим график $y=\pi-x$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(\pi/2, \pi/2)$ и $(3\pi/2, -\pi/2)$.

Полученный "зубец" периодически повторяется с периодом $2\pi$. График представляет собой "пилообразную" волну.

Ответ: График функции $y = \arcsin(\sin x)$ представляет собой периодическую ломаную линию ("пилообразную" волну) с периодом $2\pi$. На отрезке $[-\pi/2, \pi/2]$ график совпадает с прямой $y=x$, а на отрезке $[\pi/2, 3\pi/2]$ — с прямой $y=\pi-x$. Максимальное значение функции равно $\pi/2$ в точках $x = \pi/2 + 2\pi k$, а минимальное значение равно $-\pi/2$ в точках $x = 3\pi/2 + 2\pi k$ (или $x = -\pi/2 + 2\pi k$), где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $y = \arcsin(\cos x)$

1. Область определения и область значений.
Функция $\cos x$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$ и ее значения принадлежат отрезку $[-1, 1]$. Следовательно, область определения функции $y = \arcsin(\cos x)$ — все действительные числа, $D(y) = \mathbb{R}$.
Область значений функции арксинус — отрезок $[-\pi/2, \pi/2]$. Таким образом, область значений данной функции $E(y) = [-\pi/2, \pi/2]$.

2. Периодичность.
Функция $\cos x$ является периодической с основным периодом $T = 2\pi$. Следовательно, и функция $y = \arcsin(\cos x)$ является периодической с периодом $T = 2\pi$. Это позволяет нам построить график на одном периоде, например, на отрезке $[-\pi, \pi]$ длиной $2\pi$.

3. Упрощение функции.
Воспользуемся формулой приведения $\cos x = \sin(\pi/2 - x)$.
Тогда нашу функцию можно переписать в виде: $y = \arcsin(\sin(\pi/2 - x))$.
Эта функция похожа на функцию из пункта а). Обозначим $u = \pi/2 - x$. Тогда $y = \arcsin(\sin u)$.
Из решения пункта а) мы знаем, что:
- $y = u$, если $u \in [-\pi/2, \pi/2]$.
- $y = \pi - u$, если $u \in [\pi/2, 3\pi/2]$.
Теперь вернемся к переменной $x$.
- Случай 1: $u = \pi/2 - x \in [-\pi/2, \pi/2]$.
Решим неравенство: $-\pi/2 \le \pi/2 - x \le \pi/2$.
$-\pi \le -x \le 0$, что эквивалентно $0 \le x \le \pi$.
На этом отрезке $y = u = \pi/2 - x$.
- Случай 2: Рассмотрим отрезок $[-\pi, 0]$. Если $x \in [-\pi, 0]$, то $\pi/2 - x \in [\pi/2, 3\pi/2]$.
В этом случае $y = \pi - u = \pi - (\pi/2 - x) = \pi/2 + x$.

4. Построение графика.
Мы получили кусочно-линейную функцию.

• На отрезке $[-\pi, 0]$ строим график $y = x + \pi/2$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(-\pi, -\pi/2)$ и $(0, \pi/2)$.
• На отрезке $[0, \pi]$ строим график $y = -x + \pi/2$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, \pi/2)$ и $(\pi, -\pi/2)$.

Полученный "зубец" (перевернутая буква V) периодически повторяется с периодом $2\pi$. График представляет собой "пилообразную" волну, сдвинутую относительно графика из пункта а). График $y = \arcsin(\cos x)$ получается из графика $y = \arcsin(\sin x)$ сдвигом влево на $\pi/2$.

Ответ: График функции $y = \arcsin(\cos x)$ представляет собой периодическую ломаную линию ("пилообразную" волну) с периодом $2\pi$. На отрезке $[-\pi, 0]$ график совпадает с прямой $y=x+\pi/2$, а на отрезке $[0, \pi]$ — с прямой $y=-x+\pi/2$. Максимальное значение функции равно $\pi/2$ в точках $x = 2\pi k$, а минимальное значение равно $-\pi/2$ в точках $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.