Номер 26.31, страница 164, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

26.31. a) $\sin^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 \left(\frac{3\pi}{2} + 2x\right) + 2 \cos x \operatorname{tg} x = 1;$

б) $2 \cos^2 x - \sin \left(x - \frac{\pi}{2}\right) + \operatorname{tg} x \operatorname{tg} \left(x + \frac{\pi}{2}\right) = 0.$

a) $\sin^2 x + \cos^2 2x + \cos^2\left(\frac{3\pi}{2} + 2x\right) + 2 \cos x \tg x = 1$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Уравнение содержит $\tg x$, который определен, когда $\cos x \neq 0$. Следовательно, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Упростим уравнение, используя тригонометрические формулы приведения и тождества:

1. По формуле приведения $\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin \alpha$. Тогда $\cos^2\left(\frac{3\pi}{2} + 2x\right) = \sin^2(2x)$.

2. По определению тангенса $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Тогда, с учетом ОДЗ, $2 \cos x \tg x = 2 \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = 2 \sin x$.

Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$\sin^2 x + \cos^2 2x + \sin^2 2x + 2 \sin x = 1$

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ для аргумента $2x$:

$\sin^2 x + (\cos^2 2x + \sin^2 2x) + 2 \sin x = 1$

$\sin^2 x + 1 + 2 \sin x = 1$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$\sin^2 x + 2 \sin x = 0$

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$\sin x (\sin x + 2) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\sin x = 0 \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x + 2 = 0 \implies \sin x = -2$. Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции синус $[-1, 1]$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни $x = \pi n$ ОДЗ ($x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$).

При $x = \pi n$, $\cos(\pi n) = (-1)^n \neq 0$. Следовательно, все найденные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $2 \cos^2 x - \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) + \tg x \tg\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = 0$

Найдем ОДЗ. Уравнение содержит $\tg x$ и $\tg\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$.

1. Для $\tg x$: $\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. Для $\tg\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$: $\cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) \neq 0 \implies -\sin x \neq 0 \implies \sin x \neq 0 \implies x \neq \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \neq \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

Упростим уравнение, используя формулы приведения:

1. $\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = -\cos x$.

2. $\tg\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = -\ctg x$.

Тогда произведение $\tg x \tg\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \tg x \cdot (-\ctg x) = -1$ (так как $\tg x \cdot \ctg x = 1$).

Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$2 \cos^2 x - (-\cos x) + (-1) = 0$

$2 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \cos x$. Так как $|\cos x| \le 1$, то $|t| \le 1$.

$2t^2 + t - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

Корни: $t_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = -1$.

$t_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Вернемся к переменной $x$.

1) $\cos x = -1 \implies x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Эти корни можно записать как $x = \pi(2n+1)$.

2) $\cos x = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq \frac{\pi n}{2}$).

Корни вида $x = \pi + 2\pi n$ не удовлетворяют ОДЗ, так как при этих значениях $\sin x = 0$, и, следовательно, $\ctg x$ и $\tg(x+\pi/2)$ не определены. Эти корни являются посторонними.

Корни вида $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ не совпадают со значениями $\frac{\pi n}{2}$, так как $\sin(\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \neq 0$ и $\cos(\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n) = \frac{1}{2} \neq 0$. Следовательно, эти корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.