Номер 26.28, страница 164, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

26.28. a) $2 \sin^2 (\pi + x) - 5 \cos \left( \frac{\pi}{2} + x \right) + 2 = 0;$

б) $2 \cos^2 x + 5 \cos \left( \frac{\pi}{2} - x \right) - 4 = 0;$

в) $2 \cos^2 x + \sin \left( \frac{\pi}{2} - x \right) - 1 = 0;$

г) $5 - 5 \sin 3 (\pi - x) = \cos^2 (\pi - 3x).$

а)Исходное уравнение: $2 \sin^2(\pi + x) - 5 \cos(\frac{\pi}{2} + x) + 2 = 0$.
Воспользуемся формулами приведения: $\sin(\pi + x) = -\sin(x)$ и $\cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin(x)$.
Так как $\sin(\pi + x)$ возводится в квадрат, то $\sin^2(\pi + x) = (-\sin(x))^2 = \sin^2(x)$.
Подставим упрощенные выражения в уравнение:
$2 \sin^2(x) - 5(-\sin(x)) + 2 = 0$
$2 \sin^2(x) + 5 \sin(x) + 2 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin(x)$, при этом $|t| \le 1$.
Получаем квадратное уравнение: $2t^2 + 5t + 2 = 0$.
Находим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
Корни уравнения: $t_1 = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 3}{4} = -2$ и $t_2 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.
Возвращаемся к исходной переменной:
1) $\sin(x) = -2$. Это уравнение не имеет решений, так как область значений синуса $[-1, 1]$.
2) $\sin(x) = -\frac{1}{2}$.
$x = (-1)^n \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
$x = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
$x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)Исходное уравнение: $2 \cos^2 x + 5 \cos(\frac{\pi}{2} - x) - 4 = 0$.
Применим формулу приведения: $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(x)$.
Уравнение принимает вид: $2 \cos^2 x + 5 \sin x - 4 = 0$.
Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, чтобы привести уравнение к одной функции:
$2(1 - \sin^2 x) + 5 \sin x - 4 = 0$
$2 - 2 \sin^2 x + 5 \sin x - 4 = 0$
$-2 \sin^2 x + 5 \sin x - 2 = 0$
Умножим обе части на -1: $2 \sin^2 x - 5 \sin x + 2 = 0$.
Сделаем замену $t = \sin(x)$, где $|t| \le 1$.
$2t^2 - 5t + 2 = 0$.
Дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
Корни: $t_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}$ и $t_2 = \frac{5 + 3}{4} = 2$.
Возвращаемся к замене:
1) $\sin(x) = \frac{1}{2}$.
$x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $\sin(x) = 2$. Уравнение не имеет решений, так как $2 > 1$.
Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в)Исходное уравнение: $2 \cos^2 x + \sin(\frac{\pi}{2} - x) - 1 = 0$.
По формуле приведения $\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos(x)$.
Уравнение сводится к квадратному относительно $\cos(x)$:
$2 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0$.
Пусть $t = \cos(x)$, где $|t| \le 1$.
$2t^2 + t - 1 = 0$.
Дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.
Корни: $t_1 = \frac{-1 - 3}{4} = -1$ и $t_2 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}$.
Возвращаемся к замене:
1) $\cos(x) = -1$.
$x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos(x) = \frac{1}{2}$.
$x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}; x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г)Исходное уравнение: $5 - 5 \sin 3(\pi - x) = \cos^2(\pi - 3x)$.
Упростим тригонометрические функции.
Для синуса: $\sin(3(\pi - x)) = \sin(3\pi - 3x) = \sin(\pi - 3x) = \sin(3x)$.
Для косинуса: $\cos(\pi - 3x) = -\cos(3x)$, тогда $\cos^2(\pi - 3x) = (-\cos(3x))^2 = \cos^2(3x)$.
Подставляем в уравнение:
$5 - 5 \sin(3x) = \cos^2(3x)$
Используем тождество $\cos^2(3x) = 1 - \sin^2(3x)$:
$5 - 5 \sin(3x) = 1 - \sin^2(3x)$
Переносим все члены в одну сторону:
$\sin^2(3x) - 5 \sin(3x) + 4 = 0$.
Пусть $t = \sin(3x)$, где $|t| \le 1$.
$t^2 - 5t + 4 = 0$.
Корни этого квадратного уравнения (по теореме Виета) $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$.
Возвращаемся к замене:
1) $\sin(3x) = 1$.
$3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.
2) $\sin(3x) = 4$. Уравнение не имеет решений, так как $4 > 1$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.