Номер 26.29, страница 164, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

26.29. a) $2 \text{tg}^2 2x + 3 \text{tg}(\pi + 2x) = 0$;

б) $\text{tg}^2 3x - 6 \text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - 3x\right) = 0$.

а) $2 \tg^2 2x + 3 \tg(\pi + 2x) = 0$

Для упрощения уравнения воспользуемся формулой приведения для тангенса, основанной на его периодичности с периодом $\pi$: $\tg(\pi + \alpha) = \tg(\alpha)$.

Применив эту формулу, получим:

$2 \tg^2 2x + 3 \tg(2x) = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $\tg(2x)$. Вынесем $\tg(2x)$ за скобки:

$\tg(2x) (2 \tg(2x) + 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. $\tg(2x) = 0$

Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решение имеет вид:

$2x = n\pi, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

Разделив обе части на 2, находим $x$:

$x = \frac{n\pi}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$

2. $2 \tg(2x) + 3 = 0$

$\tg(2x) = -\frac{3}{2}$

Решение этого уравнения:

$2x = \operatorname{arctg}\left(-\frac{3}{2}\right) + k\pi, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$

Используя свойство нечетности арктангенса, $\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}(a)$, получаем:

$2x = -\operatorname{arctg}\frac{3}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

Разделив обе части на 2, находим $x$:

$x = -\frac{1}{2}\operatorname{arctg}\frac{3}{2} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$

Оба набора решений удовлетворяют области определения тангенса ($2x \neq \frac{\pi}{2} + m\pi, m \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $x = \frac{n\pi}{2}, \quad x = -\frac{1}{2}\operatorname{arctg}\frac{3}{2} + \frac{k\pi}{2}, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\tg^2 3x - 6 \ctg\left(\frac{\pi}{2} - 3x\right) = 0$

Для упрощения уравнения воспользуемся формулой приведения для котангенса: $\ctg\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \tg(\alpha)$.

Применив эту формулу, получим:

$\tg^2 3x - 6 \tg(3x) = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $\tg(3x)$. Вынесем $\tg(3x)$ за скобки:

$\tg(3x) (\tg(3x) - 6) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. $\tg(3x) = 0$

Решение этого уравнения:

$3x = n\pi, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

Разделив обе части на 3, находим $x$:

$x = \frac{n\pi}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$

2. $\tg(3x) - 6 = 0$

$\tg(3x) = 6$

Решение этого уравнения:

$3x = \operatorname{arctg}(6) + k\pi, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$

Разделив обе части на 3, находим $x$:

$x = \frac{1}{3}\operatorname{arctg}(6) + \frac{k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$

Оба набора решений удовлетворяют области определения тангенса ($3x \neq \frac{\pi}{2} + m\pi, m \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $x = \frac{n\pi}{3}, \quad x = \frac{1}{3}\operatorname{arctg}(6) + \frac{k\pi}{3}, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.