Номер 26.23, страница 163, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

26.23. a) $\sin^2(\pi + x) + \cos^2(2\pi - x) = 0;$

б) $\sin^2(\pi + x) + \cos^2(2\pi - x) = 1.$

а) $ \sin^2(\pi + x) + \cos^2(2\pi - x) = 0 $

Для решения этого уравнения воспользуемся формулами приведения, которые позволяют упростить тригонометрические функции.

1. Упростим выражение $ \sin^2(\pi + x) $. Согласно формуле приведения, $ \sin(\pi + x) = -\sin(x) $, так как угол $ \pi + x $ находится в III координатной четверти (если считать $x$ острым углом), где синус отрицателен. При возведении в квадрат получаем:

$ \sin^2(\pi + x) = (-\sin(x))^2 = \sin^2(x) $

2. Упростим выражение $ \cos^2(2\pi - x) $. Согласно формуле приведения, $ \cos(2\pi - x) = \cos(-x) $. Так как косинус является четной функцией, $ \cos(-x) = \cos(x) $. При возведении в квадрат получаем:

$ \cos^2(2\pi - x) = (\cos(x))^2 = \cos^2(x) $

3. Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 0 $

4. Из основного тригонометрического тождества мы знаем, что для любого действительного числа $x$ справедливо равенство $ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 $.

5. Таким образом, наше уравнение сводится к неверному равенству $ 1 = 0 $. Это означает, что не существует такого значения $x$, при котором исходное уравнение было бы верным.

Ответ: решений нет.

б) $ \sin^2(\pi + x) + \cos^2(2\pi - x) = 1 $

1. Как и в предыдущем пункте, используем формулы приведения для упрощения левой части уравнения:

$ \sin^2(\pi + x) = \sin^2(x) $

$ \cos^2(2\pi - x) = \cos^2(x) $

2. Подставляем упрощенные выражения обратно в уравнение:

$ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 $

3. Полученное равенство является основным тригонометрическим тождеством. Оно справедливо для любого действительного значения $x$.

Следовательно, решением данного уравнения является любое действительное число.

Ответ: $x \in \mathbb{R}$ (x — любое действительное число).