Номер 26.20, страница 162, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

26.20. Известно, что $ \operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = 0,4, \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} + y\right) = -3. $

Вычислите:

a) $ \operatorname{tg}(x + y) $;

б) $ \operatorname{ctg}(x - y) $.

Для решения задачи сначала упростим исходные выражения, используя формулы приведения.

1. Рассмотрим выражение $ \text{ctg}(\frac{3\pi}{2} - x) = 0,4 $.
Согласно формуле приведения, $ \text{ctg}(\frac{3\pi}{2} - x) = \text{tg}(x) $. Это следует из того, что угол $ \frac{3\pi}{2} - x $ находится в третьей четверти координатной плоскости, где котангенс положителен, а при наличии в аргументе слагаемого $ \frac{3\pi}{2} $ тригонометрическая функция меняется на кофункцию ($ \text{ctg} $ на $ \text{tg} $).
Таким образом, из условия следует, что $ \text{tg}(x) = 0,4 $.

2. Рассмотрим выражение $ \text{tg}(\frac{\pi}{2} + y) = -3 $.
Согласно формуле приведения, $ \text{tg}(\frac{\pi}{2} + y) = -\text{ctg}(y) $. Это следует из того, что угол $ \frac{\pi}{2} + y $ находится во второй четверти, где тангенс отрицателен, а при наличии слагаемого $ \frac{\pi}{2} $ функция меняется на кофункцию ($ \text{tg} $ на $ \text{ctg} $).
Таким образом, $ -\text{ctg}(y) = -3 $, откуда следует, что $ \text{ctg}(y) = 3 $.

Теперь, имея значения $ \text{tg}(x) = 0,4 $ и $ \text{ctg}(y) = 3 $, мы можем приступить к вычислениям. Для удобства также найдем значения обратных функций:
$ \text{tg}(y) = \frac{1}{\text{ctg}(y)} = \frac{1}{3} $.
$ \text{ctg}(x) = \frac{1}{\text{tg}(x)} = \frac{1}{0,4} = \frac{1}{4/10} = \frac{10}{4} = 2,5 $.

а) Для вычисления $ \text{tg}(x + y) $ воспользуемся формулой тангенса суммы:

$ \text{tg}(x+y) = \frac{\text{tg}(x) + \text{tg}(y)}{1 - \text{tg}(x)\text{tg}(y)} $

Подставим найденные значения $ \text{tg}(x) = 0,4 = \frac{2}{5} $ и $ \text{tg}(y) = \frac{1}{3} $:

$ \text{tg}(x+y) = \frac{\frac{2}{5} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{2 \cdot 3 + 1 \cdot 5}{15}}{1 - \frac{2}{15}} = \frac{\frac{6+5}{15}}{\frac{15-2}{15}} = \frac{\frac{11}{15}}{\frac{13}{15}} = \frac{11}{13} $.

Ответ: $ \frac{11}{13} $.

б) Для вычисления $ \text{ctg}(x - y) $ воспользуемся формулой котангенса разности:

$ \text{ctg}(x-y) = \frac{\text{ctg}(x)\text{ctg}(y) + 1}{\text{ctg}(y) - \text{ctg}(x)} $

Подставим найденные значения $ \text{ctg}(x) = 2,5 $ и $ \text{ctg}(y) = 3 $:

$ \text{ctg}(x-y) = \frac{2,5 \cdot 3 + 1}{3 - 2,5} = \frac{7,5 + 1}{0,5} = \frac{8,5}{0,5} = 17 $.

Ответ: $ 17 $.