Страница 162, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Вычислите:

26.14. a) $\frac{11 \cos 287^\circ - 25 \sin 557^\circ}{\sin 17^\circ};$

б) $\frac{13 \sin 469^\circ - 8 \cos 341^\circ}{\cos 19^\circ}.$

а) $\frac{11 \cos 287^\circ - 25 \sin 557^\circ}{\sin 17^\circ}$

Для решения этой задачи воспользуемся формулами приведения, чтобы выразить тригонометрические функции в числителе через $\sin 17^\circ$.

1. Упростим $\cos 287^\circ$. Угол $287^\circ$ находится в IV четверти. Можно представить его как $270^\circ + 17^\circ$.

Используем формулу приведения $\cos(270^\circ + \alpha) = \sin \alpha$.

$\cos 287^\circ = \cos(270^\circ + 17^\circ) = \sin 17^\circ$.

2. Упростим $\sin 557^\circ$. Угол $557^\circ$ больше $360^\circ$, поэтому сначала вычтем полный оборот:

$557^\circ = 360^\circ + 197^\circ$.

$\sin 557^\circ = \sin(360^\circ + 197^\circ) = \sin 197^\circ$.

Теперь для угла $197^\circ$, который находится в III четверти, применим формулу приведения. Представим его как $180^\circ + 17^\circ$.

Используем формулу $\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin \alpha$.

$\sin 197^\circ = \sin(180^\circ + 17^\circ) = -\sin 17^\circ$.

3. Подставим полученные выражения обратно в исходную дробь:

$\frac{11 \cos 287^\circ - 25 \sin 557^\circ}{\sin 17^\circ} = \frac{11 (\sin 17^\circ) - 25 (-\sin 17^\circ)}{\sin 17^\circ} = \frac{11 \sin 17^\circ + 25 \sin 17^\circ}{\sin 17^\circ}$.

Сложим слагаемые в числителе:

$\frac{(11+25) \sin 17^\circ}{\sin 17^\circ} = \frac{36 \sin 17^\circ}{\sin 17^\circ}$.

Сократим дробь на $\sin 17^\circ$ (поскольку $\sin 17^\circ \neq 0$):

$36$.

Ответ: 36

б) $\frac{13 \sin 469^\circ - 8 \cos 341^\circ}{\cos 19^\circ}$

Для решения этой задачи воспользуемся формулами приведения, чтобы выразить тригонометрические функции в числителе через $\cos 19^\circ$.

1. Упростим $\sin 469^\circ$. Угол $469^\circ$ больше $360^\circ$, вычтем полный оборот:

$469^\circ = 360^\circ + 109^\circ$.

$\sin 469^\circ = \sin(360^\circ + 109^\circ) = \sin 109^\circ$.

Угол $109^\circ$ находится во II четверти. Представим его как $90^\circ + 19^\circ$.

Используем формулу приведения $\sin(90^\circ + \alpha) = \cos \alpha$.

$\sin 109^\circ = \sin(90^\circ + 19^\circ) = \cos 19^\circ$.

2. Упростим $\cos 341^\circ$. Угол $341^\circ$ находится в IV четверти. Представим его как $360^\circ - 19^\circ$.

Используем формулу приведения $\cos(360^\circ - \alpha) = \cos \alpha$.

$\cos 341^\circ = \cos(360^\circ - 19^\circ) = \cos 19^\circ$.

3. Подставим полученные выражения обратно в исходную дробь:

$\frac{13 \sin 469^\circ - 8 \cos 341^\circ}{\cos 19^\circ} = \frac{13 (\cos 19^\circ) - 8 (\cos 19^\circ)}{\cos 19^\circ}$.

Выполним вычитание в числителе:

$\frac{(13-8) \cos 19^\circ}{\cos 19^\circ} = \frac{5 \cos 19^\circ}{\cos 19^\circ}$.

Сократим дробь на $\cos 19^\circ$ (поскольку $\cos 19^\circ \neq 0$):

$5$.

Ответ: 5

26.15. a) $\frac{2 \cos \frac{11\pi}{5} + 8 \sin \frac{13\pi}{10}}{\cos \frac{\pi}{5}}$

б) $\frac{5 \sin \frac{5\pi}{7} + 2 \cos \frac{25\pi}{14}}{\sin \frac{2\pi}{7}}$

а)

Упростим выражение $ \frac{2 \cos \frac{11\pi}{5} + 8 \sin \frac{13\pi}{10}}{\cos \frac{\pi}{5}} $.

Сначала преобразуем тригонометрические функции в числителе, используя формулы приведения.

Для $ \cos \frac{11\pi}{5} $:
$ \frac{11\pi}{5} = \frac{10\pi + \pi}{5} = 2\pi + \frac{\pi}{5} $.
Поскольку функция косинус имеет период $ 2\pi $, то $ \cos(2\pi + \alpha) = \cos(\alpha) $.
Следовательно, $ \cos \frac{11\pi}{5} = \cos \left(2\pi + \frac{\pi}{5}\right) = \cos \frac{\pi}{5} $.

Для $ \sin \frac{13\pi}{10} $:
$ \frac{13\pi}{10} = \frac{10\pi + 3\pi}{10} = \pi + \frac{3\pi}{10} $.
Используем формулу приведения $ \sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha) $.
$ \sin \frac{13\pi}{10} = \sin \left(\pi + \frac{3\pi}{10}\right) = -\sin \frac{3\pi}{10} $.
Теперь воспользуемся формулой $ \sin \alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) $, чтобы выразить $ \sin \frac{3\pi}{10} $ через косинус.
$ \sin \frac{3\pi}{10} = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{10}\right) = \cos\left(\frac{5\pi - 3\pi}{10}\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{10}\right) = \cos \frac{\pi}{5} $.
Таким образом, $ \sin \frac{13\pi}{10} = -\cos \frac{\pi}{5} $.

Подставим полученные значения обратно в исходное выражение:
$ \frac{2 \cos \frac{\pi}{5} + 8 \left(-\cos \frac{\pi}{5}\right)}{\cos \frac{\pi}{5}} = \frac{2 \cos \frac{\pi}{5} - 8 \cos \frac{\pi}{5}}{\cos \frac{\pi}{5}} $.

Выполним вычисления в числителе:
$ \frac{-6 \cos \frac{\pi}{5}}{\cos \frac{\pi}{5}} $.

Так как $ \cos \frac{\pi}{5} \neq 0 $, мы можем сократить дробь на $ \cos \frac{\pi}{5} $:
$ -6 $.

Ответ: -6.

б)

Упростим выражение $ \frac{5 \sin \frac{5\pi}{7} + 2 \cos \frac{25\pi}{14}}{\sin \frac{2\pi}{7}} $.

Преобразуем тригонометрические функции в числителе.

Для $ \sin \frac{5\pi}{7} $:
Представим $ \frac{5\pi}{7} $ как $ \pi - \frac{2\pi}{7} $.
Используя формулу приведения $ \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) $, получаем:
$ \sin \frac{5\pi}{7} = \sin\left(\pi - \frac{2\pi}{7}\right) = \sin \frac{2\pi}{7} $.

Для $ \cos \frac{25\pi}{14} $:
Представим $ \frac{25\pi}{14} $ как $ \frac{28\pi - 3\pi}{14} = 2\pi - \frac{3\pi}{14} $.
Используем формулу $ \cos(2\pi - \alpha) = \cos(\alpha) $:
$ \cos \frac{25\pi}{14} = \cos\left(2\pi - \frac{3\pi}{14}\right) = \cos \frac{3\pi}{14} $.
Теперь воспользуемся формулой $ \cos \alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) $, чтобы выразить $ \cos \frac{3\pi}{14} $ через синус.
$ \cos \frac{3\pi}{14} = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{14}\right) = \sin\left(\frac{7\pi - 3\pi}{14}\right) = \sin\left(\frac{4\pi}{14}\right) = \sin \frac{2\pi}{7} $.

Подставим упрощенные выражения в исходную дробь:
$ \frac{5 \sin \frac{2\pi}{7} + 2 \sin \frac{2\pi}{7}}{\sin \frac{2\pi}{7}} $.

Сложим слагаемые в числителе:
$ \frac{7 \sin \frac{2\pi}{7}}{\sin \frac{2\pi}{7}} $.

Так как $ \sin \frac{2\pi}{7} \neq 0 $, мы можем сократить дробь на $ \sin \frac{2\pi}{7} $:
$ 7 $.

Ответ: 7.

26.16. a) $\sin 77^\circ \cos 17^\circ - \sin 13^\circ \cos 73^\circ$;

б) $\cos 125^\circ \cos 5^\circ + \sin 55^\circ \cos 85^\circ$.

а) $ \sin 77^\circ \cos 17^\circ - \sin 13^\circ \cos 73^\circ $

Для решения данной задачи воспользуемся формулами приведения, которые позволяют выразить тригонометрические функции одного угла через функции другого. Основные формулы, которые нам понадобятся: $ \sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha $ и $ \cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha $.

Преобразуем вторую часть выражения, а именно $ \sin 13^\circ $ и $ \cos 73^\circ $:

$ \sin 13^\circ = \sin(90^\circ - 77^\circ) = \cos 77^\circ $

$ \cos 73^\circ = \cos(90^\circ - 17^\circ) = \sin 17^\circ $

Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

$ \sin 77^\circ \cos 17^\circ - \sin 13^\circ \cos 73^\circ = \sin 77^\circ \cos 17^\circ - \cos 77^\circ \sin 17^\circ $

Мы получили выражение, которое в точности соответствует формуле синуса разности двух углов: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $.

В нашем случае $ \alpha = 77^\circ $ и $ \beta = 17^\circ $. Применим формулу:

$ \sin 77^\circ \cos 17^\circ - \cos 77^\circ \sin 17^\circ = \sin(77^\circ - 17^\circ) = \sin(60^\circ) $

Значение синуса 60 градусов является табличным:

$ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $

б) $ \cos 125^\circ \cos 5^\circ + \sin 55^\circ \cos 85^\circ $

Для упрощения этого выражения также используем формулы приведения. Нам пригодятся следующие соотношения: $ \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha $ и $ \cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha $.

Преобразуем $ \cos 125^\circ $ и $ \cos 85^\circ $:

$ \cos 125^\circ = \cos(180^\circ - 55^\circ) = -\cos 55^\circ $

$ \cos 85^\circ = \cos(90^\circ - 5^\circ) = \sin 5^\circ $

Подставим эти значения в исходное выражение:

$ \cos 125^\circ \cos 5^\circ + \sin 55^\circ \cos 85^\circ = (-\cos 55^\circ) \cos 5^\circ + \sin 55^\circ (\sin 5^\circ) $

Переставим слагаемые для наглядности:

$ \sin 55^\circ \sin 5^\circ - \cos 55^\circ \cos 5^\circ $

Это выражение очень похоже на формулу косинуса суммы. Вынесем знак минус за скобки, чтобы привести его к стандартному виду:

$ -(\cos 55^\circ \cos 5^\circ - \sin 55^\circ \sin 5^\circ) $

Выражение в скобках является формулой косинуса суммы двух углов: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $.

В данном случае $ \alpha = 55^\circ $ и $ \beta = 5^\circ $. Применяем формулу:

$ -(\cos(55^\circ + 5^\circ)) = -\cos(60^\circ) $

Значение косинуса 60 градусов является табличным:

$ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} $

Таким образом, окончательный результат:

$ -\frac{1}{2} $

Ответ: $ -\frac{1}{2} $

26.17. а) $ \sin \left(\frac{\pi}{6} + t\right) \cos \left(\frac{\pi}{3} - t\right) + \sin \left(\frac{2\pi}{3} + t\right) \sin \left(\frac{\pi}{3} - t\right); $

б) $ \cos \left(\frac{\pi}{4} + t\right) \cos \left(\frac{\pi}{12} - t\right) - \cos \left(\frac{\pi}{4} - t\right) \cos \left(\frac{5\pi}{12} + t\right). $

а) Упростим выражение $\sin(\frac{\pi}{6} + t) \cos(\frac{\pi}{3} - t) + \sin(\frac{2\pi}{3} + t) \sin(\frac{\pi}{3} - t)$.
Для этого преобразуем один из множителей, используя формулы приведения. Заметим, что $\frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}$. Тогда, используя формулу $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos(\alpha)$, получаем:
$\sin(\frac{2\pi}{3} + t) = \sin(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + t) = \sin(\frac{\pi}{2} + (\frac{\pi}{6} + t)) = \cos(\frac{\pi}{6} + t)$.
Подставим полученное выражение обратно в исходное:
$\sin(\frac{\pi}{6} + t) \cos(\frac{\pi}{3} - t) + \cos(\frac{\pi}{6} + t) \sin(\frac{\pi}{3} - t)$.
Это выражение является разложением синуса суммы по формуле $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$, где $\alpha = \frac{\pi}{6} + t$ и $\beta = \frac{\pi}{3} - t$.
Следовательно, выражение равно $\sin((\frac{\pi}{6} + t) + (\frac{\pi}{3} - t))$.
Упростим аргумент: $(\frac{\pi}{6} + t) + (\frac{\pi}{3} - t) = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.
Таким образом, получаем $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

Ответ: 1

б) Упростим выражение $\cos(\frac{\pi}{4} + t) \cos(\frac{\pi}{12} - t) - \cos(\frac{\pi}{4} - t) \cos(\frac{5\pi}{12} + t)$.
Для упрощения применим формулы приведения к двум косинусам в выражении.
1. Преобразуем $\cos(\frac{5\pi}{12} + t)$. Так как $\frac{5\pi}{12} = \frac{6\pi}{12} - \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12}$, то по формуле приведения $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\alpha)$ получаем:
$\cos(\frac{5\pi}{12} + t) = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12} + t) = \cos(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{12} - t)) = \sin(\frac{\pi}{12} - t)$.
2. Преобразуем $\cos(\frac{\pi}{4} - t)$. По формуле приведения $\cos(\alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$ получаем:
$\cos(\frac{\pi}{4} - t) = \sin(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} - t)) = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + t) = \sin(\frac{\pi}{4} + t)$.
Подставим оба результата в исходное выражение:
$\cos(\frac{\pi}{4} + t) \cos(\frac{\pi}{12} - t) - \sin(\frac{\pi}{4} + t) \sin(\frac{\pi}{12} - t)$.
Полученное выражение соответствует формуле косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$, где $\alpha = \frac{\pi}{4} + t$ и $\beta = \frac{\pi}{12} - t$.
Таким образом, выражение сворачивается в $\cos((\frac{\pi}{4} + t) + (\frac{\pi}{12} - t))$.
Упростим аргумент: $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} + \frac{\pi}{12} = \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{3}$.
В результате получаем $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

26.18. а) $\frac{\cos 105^\circ \cos 5^\circ + \sin 105^\circ \cos 85^\circ}{\sin 195^\circ \cos 5^\circ + \cos 195^\circ \sin 185^\circ}.$

б) $\frac{\sin 75^\circ \cos 5^\circ - \cos 75^\circ \cos 85^\circ}{\cos 375^\circ \cos 5^\circ - \sin 15^\circ \sin 365^\circ}.$

Рассмотрим выражение: $ \frac{\cos 105^\circ \cos 5^\circ + \sin 105^\circ \cos 85^\circ}{\sin 195^\circ \cos 5^\circ + \cos 195^\circ \sin 185^\circ} $. Упростим его, преобразовав числитель и знаменатель по отдельности.

В числителе $ \cos 105^\circ \cos 5^\circ + \sin 105^\circ \cos 85^\circ $ используем формулу приведения $ \cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha $. Получаем: $ \cos 85^\circ = \cos(90^\circ - 5^\circ) = \sin 5^\circ $. Подставив это значение, выражение в числителе принимает вид $ \cos 105^\circ \cos 5^\circ + \sin 105^\circ \sin 5^\circ $. Это соответствует формуле косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $. Таким образом, числитель равен $ \cos(105^\circ - 5^\circ) = \cos 100^\circ $.

В знаменателе $ \sin 195^\circ \cos 5^\circ + \cos 195^\circ \sin 185^\circ $ используем формулу приведения $ \sin(180^\circ + \alpha) = -\sin \alpha $. Получаем: $ \sin 185^\circ = \sin(180^\circ + 5^\circ) = -\sin 5^\circ $. Подставив это значение, выражение в знаменателе становится $ \sin 195^\circ \cos 5^\circ + \cos 195^\circ (-\sin 5^\circ) = \sin 195^\circ \cos 5^\circ - \cos 195^\circ \sin 5^\circ $. Это соответствует формуле синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $. Таким образом, знаменатель равен $ \sin(195^\circ - 5^\circ) = \sin 190^\circ $.

В результате преобразований вся дробь равна $ \frac{\cos 100^\circ}{\sin 190^\circ} $. Чтобы упростить это выражение, снова применим формулы приведения: $ \cos 100^\circ = \cos(90^\circ + 10^\circ) = -\sin 10^\circ $ и $ \sin 190^\circ = \sin(180^\circ + 10^\circ) = -\sin 10^\circ $. Окончательно получаем $ \frac{-\sin 10^\circ}{-\sin 10^\circ} = 1 $.

Ответ: 1

Рассмотрим выражение: $ \frac{\sin 75^\circ \cos 5^\circ - \cos 75^\circ \cos 85^\circ}{\cos 375^\circ \cos 5^\circ - \sin 15^\circ \sin 365^\circ} $. Упростим его по частям.

В числителе $ \sin 75^\circ \cos 5^\circ - \cos 75^\circ \cos 85^\circ $ заменим $ \cos 85^\circ $, используя формулу приведения $ \cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha $. Это дает $ \cos 85^\circ = \cos(90^\circ - 5^\circ) = \sin 5^\circ $. Числитель принимает вид $ \sin 75^\circ \cos 5^\circ - \cos 75^\circ \sin 5^\circ $, что является формулой синуса разности $ \sin(\alpha - \beta) $. Таким образом, числитель равен $ \sin(75^\circ - 5^\circ) = \sin 70^\circ $.

В знаменателе $ \cos 375^\circ \cos 5^\circ - \sin 15^\circ \sin 365^\circ $ воспользуемся периодичностью тригонометрических функций ($ T=360^\circ $). Имеем: $ \cos 375^\circ = \cos(15^\circ + 360^\circ) = \cos 15^\circ $ и $ \sin 365^\circ = \sin(5^\circ + 360^\circ) = \sin 5^\circ $. Знаменатель принимает вид $ \cos 15^\circ \cos 5^\circ - \sin 15^\circ \sin 5^\circ $, что является формулой косинуса суммы $ \cos(\alpha + \beta) $. Таким образом, знаменатель равен $ \cos(15^\circ + 5^\circ) = \cos 20^\circ $.

Вся дробь равна $ \frac{\sin 70^\circ}{\cos 20^\circ} $. Используя формулу приведения $ \sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha $, получаем $ \sin 70^\circ = \sin(90^\circ - 20^\circ) = \cos 20^\circ $. Следовательно, значение выражения равно $ \frac{\cos 20^\circ}{\cos 20^\circ} = 1 $.

Ответ: 1

26.19. a) $\frac{\operatorname{tg} 380^{\circ} + \operatorname{tg} 25^{\circ}}{\operatorname{tg} 225^{\circ} + \operatorname{ctg} 290^{\circ} \operatorname{ctg} 65^{\circ}}$

б) $\frac{\operatorname{tg} \frac{19\pi}{36} - \operatorname{tg} \frac{7\pi}{36}}{\sqrt{3} \operatorname{ctg} \frac{7\pi}{3} - \operatorname{ctg} \frac{\pi}{36} \operatorname{ctg} \frac{11\pi}{36}}$

а)

Рассмотрим выражение: $ \frac{\tg 380^\circ + \tg 25^\circ}{\tg 225^\circ + \ctg 290^\circ \ctg 65^\circ} $.

Для решения задачи упростим числитель и знаменатель дроби, используя формулы приведения и свойства тригонометрических функций.

1. Преобразуем числитель. Используем свойство периодичности тангенса ($ \tg(\alpha + 360^\circ) = \tg \alpha $):

$ \tg 380^\circ = \tg (360^\circ + 20^\circ) = \tg 20^\circ $.

Таким образом, числитель принимает вид: $ \tg 20^\circ + \tg 25^\circ $.

2. Преобразуем знаменатель. Упростим каждый член в знаменателе:

$ \tg 225^\circ = \tg (180^\circ + 45^\circ) = \tg 45^\circ = 1 $.

$ \ctg 290^\circ = \ctg (270^\circ + 20^\circ) = -\tg 20^\circ $.

$ \ctg 65^\circ = \ctg (90^\circ - 25^\circ) = \tg 25^\circ $.

Подставим полученные значения в знаменатель:

$ \tg 225^\circ + \ctg 290^\circ \ctg 65^\circ = 1 + (-\tg 20^\circ)(\tg 25^\circ) = 1 - \tg 20^\circ \tg 25^\circ $.

3. Подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в исходное выражение:

$ \frac{\tg 20^\circ + \tg 25^\circ}{1 - \tg 20^\circ \tg 25^\circ} $.

Полученное выражение является формулой тангенса суммы углов: $ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta} $.

В данном случае $ \alpha = 20^\circ $ и $ \beta = 25^\circ $.

Следовательно, значение выражения равно:

$ \tg(20^\circ + 25^\circ) = \tg 45^\circ = 1 $.

Ответ: 1.

б)

Рассмотрим выражение: $ \frac{\tg \frac{19\pi}{36} - \tg \frac{7\pi}{36}}{\sqrt{3} \ctg \frac{7\pi}{3} - \ctg \frac{\pi}{36} \ctg \frac{11\pi}{36}} $.

Упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности.

1. Преобразуем числитель, используя формулы приведения.

$ \tg \frac{19\pi}{36} = \tg(\frac{18\pi + \pi}{36}) = \tg(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{36}) = -\ctg \frac{\pi}{36} $.

$ \tg \frac{7\pi}{36} = \tg(\frac{18\pi - 11\pi}{36}) = \tg(\frac{\pi}{2} - \frac{11\pi}{36}) = \ctg \frac{11\pi}{36} $.

Подставим преобразованные значения в числитель:

$ -\ctg \frac{\pi}{36} - \ctg \frac{11\pi}{36} = -(\ctg \frac{\pi}{36} + \ctg \frac{11\pi}{36}) $.

2. Преобразуем знаменатель. Сначала упростим первое слагаемое $ \sqrt{3} \ctg \frac{7\pi}{3} $.

Используем периодичность котангенса ($ \ctg(\alpha + 2\pi k) = \ctg \alpha, k \in \mathbb{Z} $):

$ \frac{7\pi}{3} = \frac{6\pi + \pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3} $.

$ \ctg \frac{7\pi}{3} = \ctg(2\pi + \frac{\pi}{3}) = \ctg \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} $.

Таким образом, первое слагаемое равно $ \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 1 $.

Теперь знаменатель имеет вид: $ 1 - \ctg \frac{\pi}{36} \ctg \frac{11\pi}{36} $.

3. Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходное выражение:

$ \frac{-(\ctg \frac{\pi}{36} + \ctg \frac{11\pi}{36})}{1 - \ctg \frac{\pi}{36} \ctg \frac{11\pi}{36}} $.

Вынесем знак минус из знаменателя:

$ \frac{-(\ctg \frac{\pi}{36} + \ctg \frac{11\pi}{36})}{-(\ctg \frac{\pi}{36} \ctg \frac{11\pi}{36} - 1)} = \frac{\ctg \frac{\pi}{36} + \ctg \frac{11\pi}{36}}{\ctg \frac{\pi}{36} \ctg \frac{11\pi}{36} - 1} $.

Полученное выражение является обратным к формуле котангенса суммы углов $ \ctg(\alpha + \beta) = \frac{\ctg \alpha \ctg \beta - 1}{\ctg \alpha + \ctg \beta} $. Следовательно, оно равно $ \tg(\alpha+\beta) $.

В нашем случае $ \alpha = \frac{\pi}{36} $ и $ \beta = \frac{11\pi}{36} $.

Значение выражения равно:

$ \tg(\frac{\pi}{36} + \frac{11\pi}{36}) = \tg(\frac{12\pi}{36}) = \tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} $.

Ответ: $ \sqrt{3} $.

26.20. Известно, что $ \operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = 0,4, \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} + y\right) = -3. $

Вычислите:

a) $ \operatorname{tg}(x + y) $;

б) $ \operatorname{ctg}(x - y) $.

Для решения задачи сначала упростим исходные выражения, используя формулы приведения.

1. Рассмотрим выражение $ \text{ctg}(\frac{3\pi}{2} - x) = 0,4 $.
Согласно формуле приведения, $ \text{ctg}(\frac{3\pi}{2} - x) = \text{tg}(x) $. Это следует из того, что угол $ \frac{3\pi}{2} - x $ находится в третьей четверти координатной плоскости, где котангенс положителен, а при наличии в аргументе слагаемого $ \frac{3\pi}{2} $ тригонометрическая функция меняется на кофункцию ($ \text{ctg} $ на $ \text{tg} $).
Таким образом, из условия следует, что $ \text{tg}(x) = 0,4 $.

2. Рассмотрим выражение $ \text{tg}(\frac{\pi}{2} + y) = -3 $.
Согласно формуле приведения, $ \text{tg}(\frac{\pi}{2} + y) = -\text{ctg}(y) $. Это следует из того, что угол $ \frac{\pi}{2} + y $ находится во второй четверти, где тангенс отрицателен, а при наличии слагаемого $ \frac{\pi}{2} $ функция меняется на кофункцию ($ \text{tg} $ на $ \text{ctg} $).
Таким образом, $ -\text{ctg}(y) = -3 $, откуда следует, что $ \text{ctg}(y) = 3 $.

Теперь, имея значения $ \text{tg}(x) = 0,4 $ и $ \text{ctg}(y) = 3 $, мы можем приступить к вычислениям. Для удобства также найдем значения обратных функций:
$ \text{tg}(y) = \frac{1}{\text{ctg}(y)} = \frac{1}{3} $.
$ \text{ctg}(x) = \frac{1}{\text{tg}(x)} = \frac{1}{0,4} = \frac{1}{4/10} = \frac{10}{4} = 2,5 $.

а) Для вычисления $ \text{tg}(x + y) $ воспользуемся формулой тангенса суммы:

$ \text{tg}(x+y) = \frac{\text{tg}(x) + \text{tg}(y)}{1 - \text{tg}(x)\text{tg}(y)} $

Подставим найденные значения $ \text{tg}(x) = 0,4 = \frac{2}{5} $ и $ \text{tg}(y) = \frac{1}{3} $:

$ \text{tg}(x+y) = \frac{\frac{2}{5} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{2 \cdot 3 + 1 \cdot 5}{15}}{1 - \frac{2}{15}} = \frac{\frac{6+5}{15}}{\frac{15-2}{15}} = \frac{\frac{11}{15}}{\frac{13}{15}} = \frac{11}{13} $.

Ответ: $ \frac{11}{13} $.

б) Для вычисления $ \text{ctg}(x - y) $ воспользуемся формулой котангенса разности:

$ \text{ctg}(x-y) = \frac{\text{ctg}(x)\text{ctg}(y) + 1}{\text{ctg}(y) - \text{ctg}(x)} $

Подставим найденные значения $ \text{ctg}(x) = 2,5 $ и $ \text{ctg}(y) = 3 $:

$ \text{ctg}(x-y) = \frac{2,5 \cdot 3 + 1}{3 - 2,5} = \frac{7,5 + 1}{0,5} = \frac{8,5}{0,5} = 17 $.

Ответ: $ 17 $.