Страница 161, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

26.8. Вычислите с помощью формул приведения:

a) $\cos 630^\circ - \sin 1470^\circ - \text{ctg } 1125^\circ$

б) $\sin (-7\pi) + 2 \cos \frac{31\pi}{3} - \text{tg } \frac{7\pi}{4}$

в) $\text{tg } 1800^\circ - \sin 495^\circ + \cos 945^\circ$

г) $\cos (-9\pi) + 2 \sin \left(-\frac{49\pi}{6}\right) - \text{ctg } \left(-\frac{21\pi}{4}\right)$

а) $ \cos 630° - \sin 1470° - \operatorname{ctg} 1125° $

Для решения применим формулы приведения, используя периодичность тригонометрических функций. Период для синуса и косинуса равен $360°$, для котангенса - $180°$.

1. Упростим каждый член выражения:

$ \cos 630° = \cos(360° + 270°) = \cos 270° = 0 $

$ \sin 1470° = \sin(4 \cdot 360° + 30°) = \sin 30° = \frac{1}{2} $

$ \operatorname{ctg} 1125° = \operatorname{ctg}(3 \cdot 360° + 45°) = \operatorname{ctg} 45° = 1 $

2. Подставим полученные значения в исходное выражение:

$ 0 - \frac{1}{2} - 1 = -1.5 $

Ответ: $-1.5$

б) $ \sin(-7\pi) + 2 \cos\frac{31\pi}{3} - \operatorname{tg}\frac{7\pi}{4} $

Используем свойства чётности/нечётности функций и их периодичность (период для синуса и косинуса $2\pi$, для тангенса $\pi$).

1. Упростим каждый член выражения:

$ \sin(-7\pi) = -\sin(7\pi) = -\sin(6\pi + \pi) = -\sin(\pi) = 0 $ (так как синус - функция нечётная)

$ 2 \cos\frac{31\pi}{3} = 2 \cos(10\pi + \frac{\pi}{3}) = 2 \cos(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 $

$ \operatorname{tg}\frac{7\pi}{4} = \operatorname{tg}(2\pi - \frac{\pi}{4}) = \operatorname{tg}(-\frac{\pi}{4}) = -\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}) = -1 $

2. Подставим полученные значения в исходное выражение:

$ 0 + 1 - (-1) = 2 $

Ответ: $2$

в) $ \operatorname{tg} 1800° - \sin 495° + \cos 945° $

Воспользуемся формулами приведения и периодичностью.

1. Упростим каждый член выражения:

$ \operatorname{tg} 1800° = \operatorname{tg}(10 \cdot 180°) = \operatorname{tg} 0° = 0 $ (период тангенса $180°$)

$ \sin 495° = \sin(360° + 135°) = \sin 135° = \sin(180° - 45°) = \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ \cos 945° = \cos(2 \cdot 360° + 225°) = \cos 225° = \cos(180° + 45°) = -\cos 45° = -\frac{\sqrt{2}}{2} $

2. Подставим полученные значения в исходное выражение:

$ 0 - \frac{\sqrt{2}}{2} + (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{2\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} $

Ответ: $-\sqrt{2}$

г) $ \cos(-9\pi) + 2 \sin(-\frac{49\pi}{6}) - \operatorname{ctg}(-\frac{21\pi}{4}) $

Используем свойства чётности/нечётности функций и их периодичность.

1. Упростим каждый член выражения:

$ \cos(-9\pi) = \cos(9\pi) = \cos(8\pi + \pi) = \cos(\pi) = -1 $ (так как косинус - функция чётная)

$ 2 \sin(-\frac{49\pi}{6}) = -2 \sin(\frac{49\pi}{6}) = -2 \sin(8\pi + \frac{\pi}{6}) = -2 \sin(\frac{\pi}{6}) = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1 $ (синус - нечётная)

$ \operatorname{ctg}(-\frac{21\pi}{4}) = -\operatorname{ctg}(\frac{21\pi}{4}) = -\operatorname{ctg}(5\pi + \frac{\pi}{4}) = -\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{4}) = -1 $ (котангенс - нечётная)

2. Подставим полученные значения в исходное выражение:

$ -1 + (-1) - (-1) = -1 - 1 + 1 = -1 $

Ответ: $-1$

Упростите выражение:

26.9. a) $ \sin(90^\circ - \alpha) + \cos(180^\circ + \alpha) + \operatorname{tg}(270^\circ + \alpha) + \operatorname{ctg}(360^\circ + \alpha) $

б) $ \sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) - \cos(\pi - t) + \operatorname{tg}(\pi - t) + \operatorname{ctg}\left(\frac{5\pi}{2} - t\right) $

а)

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами приведения, которые позволяют свести тригонометрические функции произвольного угла к функциям острого угла. Рассмотрим каждый член выражения по отдельности.

1. $ \sin(90^\circ - \alpha) $. Согласно формуле приведения, если в аргументе есть $90^\circ$ или $270^\circ$, синус меняется на косинус. Угол $90^\circ - \alpha$ (при малом положительном $ \alpha $) находится в I координатной четверти, где синус положителен. Поэтому, $ \sin(90^\circ - \alpha) = \cos(\alpha) $.

2. $ \cos(180^\circ + \alpha) $. Если в аргументе есть $180^\circ$ или $360^\circ$, название функции не меняется. Угол $180^\circ + \alpha$ находится в III координатной четверти, где косинус отрицателен. Поэтому, $ \cos(180^\circ + \alpha) = -\cos(\alpha) $.

3. $ \text{tg}(270^\circ + \alpha) $. При наличии $270^\circ$ тангенс меняется на котангенс. Угол $270^\circ + \alpha$ находится в IV координатной четверти, где тангенс отрицателен. Поэтому, $ \text{tg}(270^\circ + \alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $.

4. $ \text{ctg}(360^\circ + \alpha) $. Функция котангенса имеет период $180^\circ$, поэтому $360^\circ$ (два периода) можно отбросить: $ \text{ctg}(360^\circ + \alpha) = \text{ctg}(\alpha) $. По правилу приведения: название функции не меняется, а угол $360^\circ + \alpha$ находится в I четверти, где котангенс положителен.

Теперь соберем все части вместе:

$ \sin(90^\circ - \alpha) + \cos(180^\circ + \alpha) + \text{tg}(270^\circ + \alpha) + \text{ctg}(360^\circ + \alpha) = \cos(\alpha) + (-\cos(\alpha)) + (-\text{ctg}(\alpha)) + \text{ctg}(\alpha) = \cos(\alpha) - \cos(\alpha) - \text{ctg}(\alpha) + \text{ctg}(\alpha) = 0 $.

Ответ: $0$.

б)

Для упрощения данного выражения также используем формулы приведения, но уже для углов, выраженных в радианах.

1. $ \sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) $. При наличии $ \frac{\pi}{2} $ синус меняется на косинус. Угол $ \frac{\pi}{2} + t $ находится во II четверти, где синус положителен. Следовательно, $ \sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = \cos(t) $.

2. $ \cos(\pi - t) $. При наличии $ \pi $ название функции не меняется. Угол $ \pi - t $ находится во II четверти, где косинус отрицателен. Следовательно, $ \cos(\pi - t) = -\cos(t) $.

3. $ \text{tg}(\pi - t) $. При наличии $ \pi $ название функции не меняется. Угол $ \pi - t $ находится во II четверти, где тангенс отрицателен. Следовательно, $ \text{tg}(\pi - t) = -\text{tg}(t) $.

4. $ \text{ctg}\left(\frac{5\pi}{2} - t\right) $. Сначала упростим угол. Так как $ \frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2} $, а период котангенса равен $ \pi $ (и, соответственно, $ 2\pi $), то $ \text{ctg}\left(\frac{5\pi}{2} - t\right) = \text{ctg}\left(2\pi + \frac{\pi}{2} - t\right) = \text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - t\right) $. Теперь применим формулу приведения: при $ \frac{\pi}{2} $ котангенс меняется на тангенс. Угол $ \frac{\pi}{2} - t $ находится в I четверти, где котангенс положителен. Значит, $ \text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - t\right) = \text{tg}(t) $.

Подставим все полученные значения в исходное выражение:

$ \sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) - \cos(\pi - t) + \text{tg}(\pi - t) + \text{ctg}\left(\frac{5\pi}{2} - t\right) = \cos(t) - (-\cos(t)) + (-\text{tg}(t)) + \text{tg}(t) = \cos(t) + \cos(t) - \text{tg}(t) + \text{tg}(t) = 2\cos(t) $.

Ответ: $2\cos(t)$.

26.10. a) $\frac{\cos (180^{\circ} + \alpha) \cos (-\alpha)}{\sin (-\alpha) \sin (90^{\circ} + \alpha)};$

Б) $\frac{\sin (\pi - t) \cos (2\pi - t)}{\operatorname{tg} (\pi - t) \cos (\pi - t)};$

В) $\frac{\sin (-\alpha) \operatorname{ctg} (-\alpha)}{\cos (360^{\circ} - \alpha) \operatorname{tg} (180^{\circ} + \alpha)};$

Г) $\frac{\sin (\pi + t) \sin (2\pi + t)}{\operatorname{tg} (\pi + t) \cos \left(\frac{3\pi}{2} + t\right)}.$

а) Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами приведения и свойствами четности тригонометрических функций.
Применим следующие тождества:
$ \cos(180^\circ + \alpha) = -\cos(\alpha) $ (поскольку угол $ 180^\circ + \alpha $ находится в III четверти, где косинус отрицателен).
$ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $ (косинус является четной функцией).
$ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $ (синус является нечетной функцией).
$ \sin(90^\circ + \alpha) = \cos(\alpha) $ (поскольку угол $ 90^\circ + \alpha $ находится во II четверти, где синус положителен, и при прибавлении $ 90^\circ $ функция меняется на кофункцию).
Подставим эти преобразования в исходное выражение:
$ \frac{\cos(180^\circ + \alpha)\cos(-\alpha)}{\sin(-\alpha)\sin(90^\circ + \alpha)} = \frac{(-\cos(\alpha)) \cdot \cos(\alpha)}{(-\sin(\alpha)) \cdot \cos(\alpha)} = \frac{-\cos^2(\alpha)}{-\sin(\alpha)\cos(\alpha)} $
Сократим числитель и знаменатель на $ -\cos(\alpha) $ (при условии, что $ \cos(\alpha) \neq 0 $):
$ \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \ctg(\alpha) $
Ответ: $ \ctg(\alpha) $.

б) Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами приведения.
Применим следующие тождества:
$ \sin(\pi - t) = \sin(t) $ (угол $ \pi - t $ находится во II четверти, где синус положителен).
$ \cos(2\pi - t) = \cos(t) $ (в силу периодичности косинуса, или т.к. угол $ 2\pi - t $ находится в IV четверти, где косинус положителен).
$ \tg(\pi - t) = -\tg(t) $ (угол $ \pi - t $ находится во II четверти, где тангенс отрицателен).
$ \cos(\pi - t) = -\cos(t) $ (угол $ \pi - t $ находится во II четверти, где косинус отрицателен).
Подставим эти преобразования в исходное выражение:
$ \frac{\sin(\pi - t)\cos(2\pi - t)}{\tg(\pi - t)\cos(\pi - t)} = \frac{\sin(t) \cdot \cos(t)}{(-\tg(t)) \cdot (-\cos(t))} = \frac{\sin(t)\cos(t)}{\tg(t)\cos(t)} $
Сократим дробь на $ \cos(t) $ (при условии, что $ \cos(t) \neq 0 $):
$ \frac{\sin(t)}{\tg(t)} $
По определению тангенса $ \tg(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)} $. Подставим это в выражение:
$ \frac{\sin(t)}{\frac{\sin(t)}{\cos(t)}} = \sin(t) \cdot \frac{\cos(t)}{\sin(t)} = \cos(t) $
Ответ: $ \cos(t) $.

в) Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами приведения и свойствами нечетности тригонометрических функций.
Применим следующие тождества:
$ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $ (синус — нечетная функция).
$ \ctg(-\alpha) = -\ctg(\alpha) $ (котангенс — нечетная функция).
$ \cos(360^\circ - \alpha) = \cos(\alpha) $ (в силу периодичности косинуса, или т.к. угол $ 360^\circ - \alpha $ находится в IV четверти, где косинус положителен).
$ \tg(180^\circ + \alpha) = \tg(\alpha) $ (угол $ 180^\circ + \alpha $ находится в III четверти, где тангенс положителен).
Подставим эти преобразования в исходное выражение:
$ \frac{\sin(-\alpha)\ctg(-\alpha)}{\cos(360^\circ - \alpha)\tg(180^\circ + \alpha)} = \frac{(-\sin(\alpha)) \cdot (-\ctg(\alpha))}{\cos(\alpha) \cdot \tg(\alpha)} = \frac{\sin(\alpha)\ctg(\alpha)}{\cos(\alpha)\tg(\alpha)} $
Используем определения тангенса и котангенса: $ \ctg(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} $ и $ \tg(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $.
Упростим числитель: $ \sin(\alpha)\ctg(\alpha) = \sin(\alpha) \cdot \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \cos(\alpha) $.
Упростим знаменатель: $ \cos(\alpha)\tg(\alpha) = \cos(\alpha) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \sin(\alpha) $.
Тогда дробь примет вид:
$ \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \ctg(\alpha) $
Ответ: $ \ctg(\alpha) $.

г) Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами приведения.
Применим следующие тождества:
$ \sin(\pi + t) = -\sin(t) $ (угол $ \pi + t $ находится в III четверти, где синус отрицателен).
$ \sin(2\pi + t) = \sin(t) $ (в силу периодичности синуса).
$ \tg(\pi + t) = \tg(t) $ (угол $ \pi + t $ находится в III четверти, где тангенс положителен).
$ \cos(\frac{3\pi}{2} + t) = \sin(t) $ (угол $ \frac{3\pi}{2} + t $ находится в IV четверти, где косинус положителен, и функция меняется на кофункцию).
Подставим эти преобразования в исходное выражение:
$ \frac{\sin(\pi + t)\sin(2\pi + t)}{\tg(\pi + t)\cos(\frac{3\pi}{2} + t)} = \frac{(-\sin(t)) \cdot \sin(t)}{\tg(t) \cdot \sin(t)} = \frac{-\sin^2(t)}{\tg(t)\sin(t)} $
Сократим дробь на $ \sin(t) $ (при условии, что $ \sin(t) \neq 0 $):
$ \frac{-\sin(t)}{\tg(t)} $
По определению тангенса $ \tg(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)} $. Подставим это в выражение:
$ \frac{-\sin(t)}{\frac{\sin(t)}{\cos(t)}} = -\sin(t) \cdot \frac{\cos(t)}{\sin(t)} = -\cos(t) $
Ответ: $ -\cos(t) $.

26.11. a) $\frac{\cos (\pi - t) + \cos (\frac{\pi}{2} - t)}{\sin (2\pi - t) - \sin (\frac{3\pi}{2} - t)};$

б) $\frac{\sin^2 (\pi - t) + \sin^2 (\frac{\pi}{2} - t)}{\sin (\pi - t)} \cdot \operatorname{tg} (\pi - t).$

а) Чтобы упростить выражение $ \frac{\cos(\pi - t) + \cos(\frac{\pi}{2} - t)}{\sin(2\pi - t) - \sin(\frac{3\pi}{2} - t)} $, воспользуемся формулами приведения для каждого слагаемого.

1. Упростим числитель:

• $ \cos(\pi - t) = -\cos(t) $, так как угол $ (\pi - t) $ находится во второй четверти, где косинус отрицателен, а при вычитании из $ \pi $ функция не меняется.
• $ \cos(\frac{\pi}{2} - t) = \sin(t) $, так как угол $ (\frac{\pi}{2} - t) $ находится в первой четверти, где косинус положителен, а при вычитании из $ \frac{\pi}{2} $ функция меняется на кофункцию (синус).

Таким образом, числитель равен $ -\cos(t) + \sin(t) $.

2. Упростим знаменатель:

• $ \sin(2\pi - t) = -\sin(t) $, так как угол $ (2\pi - t) $ находится в четвертой четверти, где синус отрицателен, а при вычитании из $ 2\pi $ функция не меняется.
• $ \sin(\frac{3\pi}{2} - t) = -\cos(t) $, так как угол $ (\frac{3\pi}{2} - t) $ находится в третьей четверти, где синус отрицателен, а при вычитании из $ \frac{3\pi}{2} $ функция меняется на кофункцию (косинус).

Таким образом, знаменатель равен $ -\sin(t) - (-\cos(t)) = -\sin(t) + \cos(t) $.

3. Подставим упрощенные выражения в исходную дробь:

$ \frac{-\cos(t) + \sin(t)}{-\sin(t) + \cos(t)} = \frac{\sin(t) - \cos(t)}{\cos(t) - \sin(t)} $

Вынесем знак минус из знаменателя:

$ \frac{\sin(t) - \cos(t)}{-(\sin(t) - \cos(t))} = -1 $

Ответ: $ -1 $

б) Упростим выражение $ \frac{\sin^2(\pi - t) + \sin^2(\frac{\pi}{2} - t)}{\sin(\pi - t)} \cdot \tg(\pi - t) $.

1. Применим формулы приведения:

• $ \sin(\pi - t) = \sin(t) $. Следовательно, $ \sin^2(\pi - t) = \sin^2(t) $.
• $ \sin(\frac{\pi}{2} - t) = \cos(t) $. Следовательно, $ \sin^2(\frac{\pi}{2} - t) = \cos^2(t) $.
• $ \tg(\pi - t) = -\tg(t) $.

2. Подставим упрощенные выражения в исходное:

$ \frac{\sin^2(t) + \cos^2(t)}{\sin(t)} \cdot (-\tg(t)) $

3. Воспользуемся основным тригонометрическим

26.12. a) $\frac{\sin^3 (\alpha - 270^\circ) \cos (360^\circ - \alpha)}{\operatorname{tg}^3 (\alpha - 90^\circ) \cos^3 (\alpha - 270^\circ)}$;

б) $\frac{\sin \left( \frac{3\pi}{2} + x \right) \operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{2} + y \right)}{\cos (\pi - x) \operatorname{ctg} \left( \frac{3\pi}{2} - y \right)} - \frac{\sin \left( \frac{7\pi}{2} - y \right) \operatorname{ctg} \left( \frac{5\pi}{2} + x \right)}{\cos (2\pi - y) \operatorname{tg} (11\pi - x)}.$

a) Упростим выражение $ \frac{\sin^3(\alpha - 270^\circ) \cos(360^\circ - \alpha)}{\text{tg}^3(\alpha - 90^\circ) \cos^3(\alpha - 270^\circ)} $.

Для этого воспользуемся формулами приведения, чтобы упростить каждый тригонометрический член.

1. $ \sin(\alpha - 270^\circ) = \sin(- (270^\circ - \alpha)) = -\sin(270^\circ - \alpha) $. Угол $ 270^\circ - \alpha $ находится в III четверти, где синус отрицателен. Так как точка $ 270^\circ $ находится на вертикальной оси, функция меняется на кофункцию (косинус). Получаем: $ -(-\cos\alpha) = \cos\alpha $.
Следовательно, $ \sin^3(\alpha - 270^\circ) = \cos^3\alpha $.

2. $ \cos(360^\circ - \alpha) = \cos\alpha $. Угол $ 360^\circ - \alpha $ находится в IV четверти, где косинус положителен. Функция не меняется.

3. $ \text{tg}(\alpha - 90^\circ) = \text{tg}(- (90^\circ - \alpha)) = -\text{tg}(90^\circ - \alpha) $. Угол $ 90^\circ - \alpha $ находится в I четверти, где тангенс положителен. Так как точка $ 90^\circ $ находится на вертикальной оси, функция меняется на кофункцию (котангенс). Получаем: $ -\text{ctg}\alpha $.
Следовательно, $ \text{tg}^3(\alpha - 90^\circ) = (-\text{ctg}\alpha)^3 = -\text{ctg}^3\alpha $.

4. $ \cos(\alpha - 270^\circ) = \cos(-(270^\circ - \alpha)) = \cos(270^\circ - \alpha) $. Угол $ 270^\circ - \alpha $ находится в III четверти, где косинус отрицателен. Функция меняется на синус. Получаем: $ -\sin\alpha $.
Следовательно, $ \cos^3(\alpha - 270^\circ) = (-\sin\alpha)^3 = -\sin^3\alpha $.

Теперь подставим упрощенные выражения в исходную дробь:

$ \frac{\cos^3\alpha \cdot \cos\alpha}{(-\text{ctg}^3\alpha) \cdot (-\sin^3\alpha)} = \frac{\cos^4\alpha}{\text{ctg}^3\alpha \cdot \sin^3\alpha} $

Зная, что $ \text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $, заменим $ \text{ctg}^3\alpha $ на $ \frac{\cos^3\alpha}{\sin^3\alpha} $:

$ \frac{\cos^4\alpha}{\frac{\cos^3\alpha}{\sin^3\alpha} \cdot \sin^3\alpha} = \frac{\cos^4\alpha}{\cos^3\alpha} = \cos\alpha $

Ответ: $ \cos\alpha $

б) Упростим выражение $ \frac{\sin(\frac{3\pi}{2} + x) \text{tg}(\frac{\pi}{2} + y)}{\cos(\pi - x) \text{ctg}(\frac{3\pi}{2} - y)} - \frac{\sin(\frac{7\pi}{2} - y) \text{ctg}(\frac{5\pi}{2} + x)}{\cos(2\pi - y) \text{tg}(11\pi - x)} $.

Упростим каждую дробь по отдельности.

Первая дробь: $ \frac{\sin(\frac{3\pi}{2} + x) \text{tg}(\frac{\pi}{2} + y)}{\cos(\pi - x) \text{ctg}(\frac{3\pi}{2} - y)} $

Применяем формулы приведения:

$ \sin(\frac{3\pi}{2} + x) = -\cos x $ (IV четверть, sin < 0, функция меняется)

$ \text{tg}(\frac{\pi}{2} + y) = -\text{ctg} y $ (II четверть, tg < 0, функция меняется)

$ \cos(\pi - x) = -\cos x $ (II четверть, cos < 0, функция не меняется)

$ \text{ctg}(\frac{3\pi}{2} - y) = \text{tg} y $ (III четверть, ctg > 0, функция меняется)

Подставляем в первую дробь:

$ \frac{(-\cos x)(-\text{ctg} y)}{(-\cos x)(\text{tg} y)} = \frac{\cos x \cdot \text{ctg} y}{-\cos x \cdot \text{tg} y} = -\frac{\text{ctg} y}{\text{tg} y} = -\frac{1/\text{tg} y}{\text{tg} y} = -\frac{1}{\text{tg}^2 y} = -\text{ctg}^2 y $

Вторая дробь: $ \frac{\sin(\frac{7\pi}{2} - y) \text{ctg}(\frac{5\pi}{2} + x)}{\cos(2\pi - y) \text{tg}(11\pi - x)} $

Применяем формулы приведения, учитывая периодичность функций:

$ \sin(\frac{7\pi}{2} - y) = \sin(2\pi + \frac{3\pi}{2} - y) = \sin(\frac{3\pi}{2} - y) = -\cos y $ (III четверть, sin < 0, функция меняется)

$ \text{ctg}(\frac{5\pi}{2} + x) = \text{ctg}(2\pi + \frac{\pi}{2} + x) = \text{ctg}(\frac{\pi}{2} + x) = -\text{tg} x $ (II четверть, ctg < 0, функция меняется)

$ \cos(2\pi - y) = \cos(-y) = \cos y $ (IV четверть, cos > 0, функция не меняется)

$ \text{tg}(11\pi - x) = \text{tg}(\pi - x) = -\text{tg} x $ (II четверть, tg < 0, функция не меняется)

Подставляем во вторую дробь:

$ \frac{(-\cos y)(-\text{tg} x)}{(\cos y)(-\text{tg} x)} = \frac{\cos y \cdot \text{tg} x}{-\cos y \cdot \text{tg} x} = -1 $

Итоговое выражение:

Вычитаем значение второй дроби из значения первой:

$ (-\text{ctg}^2 y) - (-1) = 1 - \text{ctg}^2 y $

Ответ: $ 1 - \text{ctg}^2 y $

26.13. Докажите тождество:

а) $ \frac{\operatorname{tg}(\pi-t)}{\cos (\pi+t)} \cdot \frac{\sin \left(\frac{3 \pi}{2}+t\right)}{\operatorname{tg}\left(\frac{3 \pi}{2}+t\right)} = \operatorname{tg}^{2} t $

б) $ \frac{\sin (\pi-t)}{\operatorname{tg}(\pi+t)} \cdot \frac{\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2}-t\right)}{\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2}+t\right)} \cdot \frac{\cos (2 \pi-t)}{\sin (-t)} = \sin t $

в) $ \frac{\cos ^{2}(\pi-t)+\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{2}-t\right)+\cos (\pi+t) \cos (2 \pi-t)}{\operatorname{tg}^{2}\left(t-\frac{\pi}{2}\right) \operatorname{ctg}^{2}\left(\frac{3 \pi}{2}+t\right)} = \cos ^{2} t $

г) $ \frac{\sin ^{2}\left(t-\frac{3 \pi}{2}\right) \cos (2 \pi-t)}{\operatorname{tg}^{2}\left(t-\frac{\pi}{2}\right) \cos ^{2}\left(t-\frac{3 \pi}{2}\right)} = \cos t. $

а) Для доказательства тождества $ \frac{\tg(\pi-t)}{\cos(\pi+t)} \cdot \frac{\sin(\frac{3\pi}{2}+t)}{\tg(\frac{3\pi}{2}+t)} = \tg^2 t $ преобразуем левую часть, используя формулы приведения.
Упростим каждый член выражения по отдельности:
$ \tg(\pi - t) = -\tg t $ (тангенс во второй четверти отрицателен)
$ \cos(\pi + t) = -\cos t $ (косинус в третьей четверти отрицателен)
$ \sin\left(\frac{3\pi}{2} + t\right) = -\cos t $ (синус в четвертой четверти отрицателен, функция меняется на кофункцию)
$ \tg\left(\frac{3\pi}{2} + t\right) = -\ctg t $ (тангенс в четвертой четверти отрицателен, функция меняется на кофункцию)
Подставим полученные выражения в левую часть равенства:
$ \frac{-\tg t}{-\cos t} \cdot \frac{-\cos t}{-\ctg t} = \frac{\tg t}{\cos t} \cdot \frac{\cos t}{\ctg t} $
Сократим $ \cos t $:
$ \frac{\tg t}{\ctg t} $
Так как $ \ctg t = \frac{1}{\tg t} $, получаем:
$ \frac{\tg t}{\frac{1}{\tg t}} = \tg t \cdot \tg t = \tg^2 t $
В результате преобразований левая часть тождества стала равна правой: $ \tg^2 t = \tg^2 t $.
Ответ: тождество доказано.

б) Для доказательства тождества $ \frac{\sin(\pi-t)}{\tg(\pi+t)} \cdot \frac{\ctg(\frac{\pi}{2}-t)}{\tg(\frac{\pi}{2}+t)} \cdot \frac{\cos(2\pi-t)}{\sin(-t)} = \sin t $ преобразуем левую часть, используя формулы приведения и свойства тригонометрических функций.
Упростим каждый член выражения:
$ \sin(\pi - t) = \sin t $ (синус во второй четверти положителен)
$ \tg(\pi + t) = \tg t $ (тангенс в третьей четверти положителен)
$ \ctg\left(\frac{\pi}{2} - t\right) = \tg t $ (функция меняется на кофункцию, первая четверть)
$ \tg\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = -\ctg t $ (тангенс во второй четверти отрицателен, функция меняется на кофункцию)
$ \cos(2\pi - t) = \cos t $ (косинус в четвертой четверти положителен)
$ \sin(-t) = -\sin t $ (синус — нечетная функция)
Подставим упрощенные выражения в левую часть равенства:
$ \frac{\sin t}{\tg t} \cdot \frac{\tg t}{-\ctg t} \cdot \frac{\cos t}{-\sin t} $
Сократим $ \tg t $ и $ \sin t $. Два знака минус дают плюс:
$ \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{\ctg t} \cdot \frac{\cos t}{1} = \frac{\cos t}{\ctg t} $
Так как $ \ctg t = \frac{\cos t}{\sin t} $, получаем:
$ \frac{\cos t}{\frac{\cos t}{\sin t}} = \cos t \cdot \frac{\sin t}{\cos t} = \sin t $
В результате преобразований левая часть тождества стала равна правой: $ \sin t = \sin t $.
Ответ: тождество доказано.

в) Для доказательства тождества $ \frac{\cos^2(\pi-t)+\sin^2(\frac{\pi}{2}-t)+\cos(\pi+t)\cos(2\pi-t)}{\tg^2(t-\frac{\pi}{2})\ctg^2(\frac{3\pi}{2}+t)} = \cos^2 t $ преобразуем числитель и знаменатель дроби в левой части.
Преобразуем числитель:
$ \cos(\pi-t) = -\cos t \implies \cos^2(\pi-t) = (-\cos t)^2 = \cos^2 t $
$ \sin(\frac{\pi}{2}-t) = \cos t \implies \sin^2(\frac{\pi}{2}-t) = \cos^2 t $
$ \cos(\pi+t) = -\cos t $
$ \cos(2\pi-t) = \cos t $
Числитель равен: $ \cos^2 t + \cos^2 t + (-\cos t)(\cos t) = 2\cos^2 t - \cos^2 t = \cos^2 t $.
Преобразуем знаменатель:
$ \tg(t-\frac{\pi}{2}) = \tg(-(\frac{\pi}{2}-t)) = -\tg(\frac{\pi}{2}-t) = -\ctg t \implies \tg^2(t-\frac{\pi}{2}) = (-\ctg t)^2 = \ctg^2 t $
$ \ctg(\frac{3\pi}{2}+t) = -\tg t \implies \ctg^2(\frac{3\pi}{2}+t) = (-\tg t)^2 = \tg^2 t $
Знаменатель равен: $ \ctg^2 t \cdot \tg^2 t = \left(\frac{\cos t}{\sin t}\right)^2 \cdot \left(\frac{\sin t}{\cos t}\right)^2 = 1 $.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь:
$ \frac{\cos^2 t}{1} = \cos^2 t $
В результате преобразований левая часть тождества стала равна правой: $ \cos^2 t = \cos^2 t $.
Ответ: тождество доказано.

г) Для доказательства тождества $ \frac{\sin^2(t-\frac{3\pi}{2})\cos(2\pi-t)}{\tg^2(t-\frac{\pi}{2})\cos^2(t-\frac{3\pi}{2})} = \cos t $ преобразуем числитель и знаменатель дроби в левой части.
Преобразуем числитель:
$ \sin(t-\frac{3\pi}{2}) = \sin(-(\frac{3\pi}{2}-t)) = -\sin(\frac{3\pi}{2}-t) = -(-\cos t) = \cos t \implies \sin^2(t-\frac{3\pi}{2}) = \cos^2 t $
$ \cos(2\pi-t) = \cos t $
Числитель равен: $ \cos^2 t \cdot \cos t = \cos^3 t $.
Преобразуем знаменатель:
$ \tg(t-\frac{\pi}{2}) = -\ctg t \implies \tg^2(t-\frac{\pi}{2}) = \ctg^2 t $
$ \cos(t-\frac{3\pi}{2}) = \cos(-(\frac{3\pi}{2}-t)) = \cos(\frac{3\pi}{2}-t) = -\sin t \implies \cos^2(t-\frac{3\pi}{2}) = (-\sin t)^2 = \sin^2 t $
Знаменатель равен: $ \ctg^2 t \cdot \sin^2 t = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} \cdot \sin^2 t = \cos^2 t $.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь:
$ \frac{\cos^3 t}{\cos^2 t} = \cos t $
В результате преобразований левая часть тождества стала равна правой: $ \cos t = \cos t $.
Ответ: тождество доказано.