Номер 26.9, страница 161, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Упростите выражение:

26.9. a) $ \sin(90^\circ - \alpha) + \cos(180^\circ + \alpha) + \operatorname{tg}(270^\circ + \alpha) + \operatorname{ctg}(360^\circ + \alpha) $

б) $ \sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) - \cos(\pi - t) + \operatorname{tg}(\pi - t) + \operatorname{ctg}\left(\frac{5\pi}{2} - t\right) $

а)

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами приведения, которые позволяют свести тригонометрические функции произвольного угла к функциям острого угла. Рассмотрим каждый член выражения по отдельности.

1. $ \sin(90^\circ - \alpha) $. Согласно формуле приведения, если в аргументе есть $90^\circ$ или $270^\circ$, синус меняется на косинус. Угол $90^\circ - \alpha$ (при малом положительном $ \alpha $) находится в I координатной четверти, где синус положителен. Поэтому, $ \sin(90^\circ - \alpha) = \cos(\alpha) $.

2. $ \cos(180^\circ + \alpha) $. Если в аргументе есть $180^\circ$ или $360^\circ$, название функции не меняется. Угол $180^\circ + \alpha$ находится в III координатной четверти, где косинус отрицателен. Поэтому, $ \cos(180^\circ + \alpha) = -\cos(\alpha) $.

3. $ \text{tg}(270^\circ + \alpha) $. При наличии $270^\circ$ тангенс меняется на котангенс. Угол $270^\circ + \alpha$ находится в IV координатной четверти, где тангенс отрицателен. Поэтому, $ \text{tg}(270^\circ + \alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $.

4. $ \text{ctg}(360^\circ + \alpha) $. Функция котангенса имеет период $180^\circ$, поэтому $360^\circ$ (два периода) можно отбросить: $ \text{ctg}(360^\circ + \alpha) = \text{ctg}(\alpha) $. По правилу приведения: название функции не меняется, а угол $360^\circ + \alpha$ находится в I четверти, где котангенс положителен.

Теперь соберем все части вместе:

$ \sin(90^\circ - \alpha) + \cos(180^\circ + \alpha) + \text{tg}(270^\circ + \alpha) + \text{ctg}(360^\circ + \alpha) = \cos(\alpha) + (-\cos(\alpha)) + (-\text{ctg}(\alpha)) + \text{ctg}(\alpha) = \cos(\alpha) - \cos(\alpha) - \text{ctg}(\alpha) + \text{ctg}(\alpha) = 0 $.

Ответ: $0$.

б)

Для упрощения данного выражения также используем формулы приведения, но уже для углов, выраженных в радианах.

1. $ \sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) $. При наличии $ \frac{\pi}{2} $ синус меняется на косинус. Угол $ \frac{\pi}{2} + t $ находится во II четверти, где синус положителен. Следовательно, $ \sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = \cos(t) $.

2. $ \cos(\pi - t) $. При наличии $ \pi $ название функции не меняется. Угол $ \pi - t $ находится во II четверти, где косинус отрицателен. Следовательно, $ \cos(\pi - t) = -\cos(t) $.

3. $ \text{tg}(\pi - t) $. При наличии $ \pi $ название функции не меняется. Угол $ \pi - t $ находится во II четверти, где тангенс отрицателен. Следовательно, $ \text{tg}(\pi - t) = -\text{tg}(t) $.

4. $ \text{ctg}\left(\frac{5\pi}{2} - t\right) $. Сначала упростим угол. Так как $ \frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2} $, а период котангенса равен $ \pi $ (и, соответственно, $ 2\pi $), то $ \text{ctg}\left(\frac{5\pi}{2} - t\right) = \text{ctg}\left(2\pi + \frac{\pi}{2} - t\right) = \text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - t\right) $. Теперь применим формулу приведения: при $ \frac{\pi}{2} $ котангенс меняется на тангенс. Угол $ \frac{\pi}{2} - t $ находится в I четверти, где котангенс положителен. Значит, $ \text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - t\right) = \text{tg}(t) $.

Подставим все полученные значения в исходное выражение:

$ \sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) - \cos(\pi - t) + \text{tg}(\pi - t) + \text{ctg}\left(\frac{5\pi}{2} - t\right) = \cos(t) - (-\cos(t)) + (-\text{tg}(t)) + \text{tg}(t) = \cos(t) + \cos(t) - \text{tg}(t) + \text{tg}(t) = 2\cos(t) $.

Ответ: $2\cos(t)$.