Номер 26.13, страница 161, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

26.13. Докажите тождество:

а) $ \frac{\operatorname{tg}(\pi-t)}{\cos (\pi+t)} \cdot \frac{\sin \left(\frac{3 \pi}{2}+t\right)}{\operatorname{tg}\left(\frac{3 \pi}{2}+t\right)} = \operatorname{tg}^{2} t $

б) $ \frac{\sin (\pi-t)}{\operatorname{tg}(\pi+t)} \cdot \frac{\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2}-t\right)}{\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2}+t\right)} \cdot \frac{\cos (2 \pi-t)}{\sin (-t)} = \sin t $

в) $ \frac{\cos ^{2}(\pi-t)+\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{2}-t\right)+\cos (\pi+t) \cos (2 \pi-t)}{\operatorname{tg}^{2}\left(t-\frac{\pi}{2}\right) \operatorname{ctg}^{2}\left(\frac{3 \pi}{2}+t\right)} = \cos ^{2} t $

г) $ \frac{\sin ^{2}\left(t-\frac{3 \pi}{2}\right) \cos (2 \pi-t)}{\operatorname{tg}^{2}\left(t-\frac{\pi}{2}\right) \cos ^{2}\left(t-\frac{3 \pi}{2}\right)} = \cos t. $

а) Для доказательства тождества $ \frac{\tg(\pi-t)}{\cos(\pi+t)} \cdot \frac{\sin(\frac{3\pi}{2}+t)}{\tg(\frac{3\pi}{2}+t)} = \tg^2 t $ преобразуем левую часть, используя формулы приведения.
Упростим каждый член выражения по отдельности:
$ \tg(\pi - t) = -\tg t $ (тангенс во второй четверти отрицателен)
$ \cos(\pi + t) = -\cos t $ (косинус в третьей четверти отрицателен)
$ \sin\left(\frac{3\pi}{2} + t\right) = -\cos t $ (синус в четвертой четверти отрицателен, функция меняется на кофункцию)
$ \tg\left(\frac{3\pi}{2} + t\right) = -\ctg t $ (тангенс в четвертой четверти отрицателен, функция меняется на кофункцию)
Подставим полученные выражения в левую часть равенства:
$ \frac{-\tg t}{-\cos t} \cdot \frac{-\cos t}{-\ctg t} = \frac{\tg t}{\cos t} \cdot \frac{\cos t}{\ctg t} $
Сократим $ \cos t $:
$ \frac{\tg t}{\ctg t} $
Так как $ \ctg t = \frac{1}{\tg t} $, получаем:
$ \frac{\tg t}{\frac{1}{\tg t}} = \tg t \cdot \tg t = \tg^2 t $
В результате преобразований левая часть тождества стала равна правой: $ \tg^2 t = \tg^2 t $.
Ответ: тождество доказано.

б) Для доказательства тождества $ \frac{\sin(\pi-t)}{\tg(\pi+t)} \cdot \frac{\ctg(\frac{\pi}{2}-t)}{\tg(\frac{\pi}{2}+t)} \cdot \frac{\cos(2\pi-t)}{\sin(-t)} = \sin t $ преобразуем левую часть, используя формулы приведения и свойства тригонометрических функций.
Упростим каждый член выражения:
$ \sin(\pi - t) = \sin t $ (синус во второй четверти положителен)
$ \tg(\pi + t) = \tg t $ (тангенс в третьей четверти положителен)
$ \ctg\left(\frac{\pi}{2} - t\right) = \tg t $ (функция меняется на кофункцию, первая четверть)
$ \tg\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = -\ctg t $ (тангенс во второй четверти отрицателен, функция меняется на кофункцию)
$ \cos(2\pi - t) = \cos t $ (косинус в четвертой четверти положителен)
$ \sin(-t) = -\sin t $ (синус — нечетная функция)
Подставим упрощенные выражения в левую часть равенства:
$ \frac{\sin t}{\tg t} \cdot \frac{\tg t}{-\ctg t} \cdot \frac{\cos t}{-\sin t} $
Сократим $ \tg t $ и $ \sin t $. Два знака минус дают плюс:
$ \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{\ctg t} \cdot \frac{\cos t}{1} = \frac{\cos t}{\ctg t} $
Так как $ \ctg t = \frac{\cos t}{\sin t} $, получаем:
$ \frac{\cos t}{\frac{\cos t}{\sin t}} = \cos t \cdot \frac{\sin t}{\cos t} = \sin t $
В результате преобразований левая часть тождества стала равна правой: $ \sin t = \sin t $.
Ответ: тождество доказано.

в) Для доказательства тождества $ \frac{\cos^2(\pi-t)+\sin^2(\frac{\pi}{2}-t)+\cos(\pi+t)\cos(2\pi-t)}{\tg^2(t-\frac{\pi}{2})\ctg^2(\frac{3\pi}{2}+t)} = \cos^2 t $ преобразуем числитель и знаменатель дроби в левой части.
Преобразуем числитель:
$ \cos(\pi-t) = -\cos t \implies \cos^2(\pi-t) = (-\cos t)^2 = \cos^2 t $
$ \sin(\frac{\pi}{2}-t) = \cos t \implies \sin^2(\frac{\pi}{2}-t) = \cos^2 t $
$ \cos(\pi+t) = -\cos t $
$ \cos(2\pi-t) = \cos t $
Числитель равен: $ \cos^2 t + \cos^2 t + (-\cos t)(\cos t) = 2\cos^2 t - \cos^2 t = \cos^2 t $.
Преобразуем знаменатель:
$ \tg(t-\frac{\pi}{2}) = \tg(-(\frac{\pi}{2}-t)) = -\tg(\frac{\pi}{2}-t) = -\ctg t \implies \tg^2(t-\frac{\pi}{2}) = (-\ctg t)^2 = \ctg^2 t $
$ \ctg(\frac{3\pi}{2}+t) = -\tg t \implies \ctg^2(\frac{3\pi}{2}+t) = (-\tg t)^2 = \tg^2 t $
Знаменатель равен: $ \ctg^2 t \cdot \tg^2 t = \left(\frac{\cos t}{\sin t}\right)^2 \cdot \left(\frac{\sin t}{\cos t}\right)^2 = 1 $.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь:
$ \frac{\cos^2 t}{1} = \cos^2 t $
В результате преобразований левая часть тождества стала равна правой: $ \cos^2 t = \cos^2 t $.
Ответ: тождество доказано.

г) Для доказательства тождества $ \frac{\sin^2(t-\frac{3\pi}{2})\cos(2\pi-t)}{\tg^2(t-\frac{\pi}{2})\cos^2(t-\frac{3\pi}{2})} = \cos t $ преобразуем числитель и знаменатель дроби в левой части.
Преобразуем числитель:
$ \sin(t-\frac{3\pi}{2}) = \sin(-(\frac{3\pi}{2}-t)) = -\sin(\frac{3\pi}{2}-t) = -(-\cos t) = \cos t \implies \sin^2(t-\frac{3\pi}{2}) = \cos^2 t $
$ \cos(2\pi-t) = \cos t $
Числитель равен: $ \cos^2 t \cdot \cos t = \cos^3 t $.
Преобразуем знаменатель:
$ \tg(t-\frac{\pi}{2}) = -\ctg t \implies \tg^2(t-\frac{\pi}{2}) = \ctg^2 t $
$ \cos(t-\frac{3\pi}{2}) = \cos(-(\frac{3\pi}{2}-t)) = \cos(\frac{3\pi}{2}-t) = -\sin t \implies \cos^2(t-\frac{3\pi}{2}) = (-\sin t)^2 = \sin^2 t $
Знаменатель равен: $ \ctg^2 t \cdot \sin^2 t = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} \cdot \sin^2 t = \cos^2 t $.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь:
$ \frac{\cos^3 t}{\cos^2 t} = \cos t $
В результате преобразований левая часть тождества стала равна правой: $ \cos t = \cos t $.
Ответ: тождество доказано.