Номер 26.17, страница 162, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

26.17. а) $ \sin \left(\frac{\pi}{6} + t\right) \cos \left(\frac{\pi}{3} - t\right) + \sin \left(\frac{2\pi}{3} + t\right) \sin \left(\frac{\pi}{3} - t\right); $

б) $ \cos \left(\frac{\pi}{4} + t\right) \cos \left(\frac{\pi}{12} - t\right) - \cos \left(\frac{\pi}{4} - t\right) \cos \left(\frac{5\pi}{12} + t\right). $

а) Упростим выражение $\sin(\frac{\pi}{6} + t) \cos(\frac{\pi}{3} - t) + \sin(\frac{2\pi}{3} + t) \sin(\frac{\pi}{3} - t)$.
Для этого преобразуем один из множителей, используя формулы приведения. Заметим, что $\frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}$. Тогда, используя формулу $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos(\alpha)$, получаем:
$\sin(\frac{2\pi}{3} + t) = \sin(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + t) = \sin(\frac{\pi}{2} + (\frac{\pi}{6} + t)) = \cos(\frac{\pi}{6} + t)$.
Подставим полученное выражение обратно в исходное:
$\sin(\frac{\pi}{6} + t) \cos(\frac{\pi}{3} - t) + \cos(\frac{\pi}{6} + t) \sin(\frac{\pi}{3} - t)$.
Это выражение является разложением синуса суммы по формуле $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$, где $\alpha = \frac{\pi}{6} + t$ и $\beta = \frac{\pi}{3} - t$.
Следовательно, выражение равно $\sin((\frac{\pi}{6} + t) + (\frac{\pi}{3} - t))$.
Упростим аргумент: $(\frac{\pi}{6} + t) + (\frac{\pi}{3} - t) = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.
Таким образом, получаем $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

Ответ: 1

б) Упростим выражение $\cos(\frac{\pi}{4} + t) \cos(\frac{\pi}{12} - t) - \cos(\frac{\pi}{4} - t) \cos(\frac{5\pi}{12} + t)$.
Для упрощения применим формулы приведения к двум косинусам в выражении.
1. Преобразуем $\cos(\frac{5\pi}{12} + t)$. Так как $\frac{5\pi}{12} = \frac{6\pi}{12} - \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12}$, то по формуле приведения $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\alpha)$ получаем:
$\cos(\frac{5\pi}{12} + t) = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12} + t) = \cos(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{12} - t)) = \sin(\frac{\pi}{12} - t)$.
2. Преобразуем $\cos(\frac{\pi}{4} - t)$. По формуле приведения $\cos(\alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$ получаем:
$\cos(\frac{\pi}{4} - t) = \sin(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} - t)) = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + t) = \sin(\frac{\pi}{4} + t)$.
Подставим оба результата в исходное выражение:
$\cos(\frac{\pi}{4} + t) \cos(\frac{\pi}{12} - t) - \sin(\frac{\pi}{4} + t) \sin(\frac{\pi}{12} - t)$.
Полученное выражение соответствует формуле косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$, где $\alpha = \frac{\pi}{4} + t$ и $\beta = \frac{\pi}{12} - t$.
Таким образом, выражение сворачивается в $\cos((\frac{\pi}{4} + t) + (\frac{\pi}{12} - t))$.
Упростим аргумент: $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} + \frac{\pi}{12} = \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{3}$.
В результате получаем $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$