Номер 26.11, страница 161, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

26.11. a) $\frac{\cos (\pi - t) + \cos (\frac{\pi}{2} - t)}{\sin (2\pi - t) - \sin (\frac{3\pi}{2} - t)};$

б) $\frac{\sin^2 (\pi - t) + \sin^2 (\frac{\pi}{2} - t)}{\sin (\pi - t)} \cdot \operatorname{tg} (\pi - t).$

а) Чтобы упростить выражение $ \frac{\cos(\pi - t) + \cos(\frac{\pi}{2} - t)}{\sin(2\pi - t) - \sin(\frac{3\pi}{2} - t)} $, воспользуемся формулами приведения для каждого слагаемого.

1. Упростим числитель:

• $ \cos(\pi - t) = -\cos(t) $, так как угол $ (\pi - t) $ находится во второй четверти, где косинус отрицателен, а при вычитании из $ \pi $ функция не меняется.
• $ \cos(\frac{\pi}{2} - t) = \sin(t) $, так как угол $ (\frac{\pi}{2} - t) $ находится в первой четверти, где косинус положителен, а при вычитании из $ \frac{\pi}{2} $ функция меняется на кофункцию (синус).

Таким образом, числитель равен $ -\cos(t) + \sin(t) $.

2. Упростим знаменатель:

• $ \sin(2\pi - t) = -\sin(t) $, так как угол $ (2\pi - t) $ находится в четвертой четверти, где синус отрицателен, а при вычитании из $ 2\pi $ функция не меняется.
• $ \sin(\frac{3\pi}{2} - t) = -\cos(t) $, так как угол $ (\frac{3\pi}{2} - t) $ находится в третьей четверти, где синус отрицателен, а при вычитании из $ \frac{3\pi}{2} $ функция меняется на кофункцию (косинус).

Таким образом, знаменатель равен $ -\sin(t) - (-\cos(t)) = -\sin(t) + \cos(t) $.

3. Подставим упрощенные выражения в исходную дробь:

$ \frac{-\cos(t) + \sin(t)}{-\sin(t) + \cos(t)} = \frac{\sin(t) - \cos(t)}{\cos(t) - \sin(t)} $

Вынесем знак минус из знаменателя:

$ \frac{\sin(t) - \cos(t)}{-(\sin(t) - \cos(t))} = -1 $

Ответ: $ -1 $

б) Упростим выражение $ \frac{\sin^2(\pi - t) + \sin^2(\frac{\pi}{2} - t)}{\sin(\pi - t)} \cdot \tg(\pi - t) $.

1. Применим формулы приведения:

• $ \sin(\pi - t) = \sin(t) $. Следовательно, $ \sin^2(\pi - t) = \sin^2(t) $.
• $ \sin(\frac{\pi}{2} - t) = \cos(t) $. Следовательно, $ \sin^2(\frac{\pi}{2} - t) = \cos^2(t) $.
• $ \tg(\pi - t) = -\tg(t) $.

2. Подставим упрощенные выражения в исходное:

$ \frac{\sin^2(t) + \cos^2(t)}{\sin(t)} \cdot (-\tg(t)) $

3. Воспользуемся основным тригонометрическим