Номер 26.8, страница 161, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

26.8. Вычислите с помощью формул приведения:

a) $\cos 630^\circ - \sin 1470^\circ - \text{ctg } 1125^\circ$

б) $\sin (-7\pi) + 2 \cos \frac{31\pi}{3} - \text{tg } \frac{7\pi}{4}$

в) $\text{tg } 1800^\circ - \sin 495^\circ + \cos 945^\circ$

г) $\cos (-9\pi) + 2 \sin \left(-\frac{49\pi}{6}\right) - \text{ctg } \left(-\frac{21\pi}{4}\right)$

а) $ \cos 630° - \sin 1470° - \operatorname{ctg} 1125° $

Для решения применим формулы приведения, используя периодичность тригонометрических функций. Период для синуса и косинуса равен $360°$, для котангенса - $180°$.

1. Упростим каждый член выражения:

$ \cos 630° = \cos(360° + 270°) = \cos 270° = 0 $

$ \sin 1470° = \sin(4 \cdot 360° + 30°) = \sin 30° = \frac{1}{2} $

$ \operatorname{ctg} 1125° = \operatorname{ctg}(3 \cdot 360° + 45°) = \operatorname{ctg} 45° = 1 $

2. Подставим полученные значения в исходное выражение:

$ 0 - \frac{1}{2} - 1 = -1.5 $

Ответ: $-1.5$

б) $ \sin(-7\pi) + 2 \cos\frac{31\pi}{3} - \operatorname{tg}\frac{7\pi}{4} $

Используем свойства чётности/нечётности функций и их периодичность (период для синуса и косинуса $2\pi$, для тангенса $\pi$).

1. Упростим каждый член выражения:

$ \sin(-7\pi) = -\sin(7\pi) = -\sin(6\pi + \pi) = -\sin(\pi) = 0 $ (так как синус - функция нечётная)

$ 2 \cos\frac{31\pi}{3} = 2 \cos(10\pi + \frac{\pi}{3}) = 2 \cos(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 $

$ \operatorname{tg}\frac{7\pi}{4} = \operatorname{tg}(2\pi - \frac{\pi}{4}) = \operatorname{tg}(-\frac{\pi}{4}) = -\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}) = -1 $

2. Подставим полученные значения в исходное выражение:

$ 0 + 1 - (-1) = 2 $

Ответ: $2$

в) $ \operatorname{tg} 1800° - \sin 495° + \cos 945° $

Воспользуемся формулами приведения и периодичностью.

1. Упростим каждый член выражения:

$ \operatorname{tg} 1800° = \operatorname{tg}(10 \cdot 180°) = \operatorname{tg} 0° = 0 $ (период тангенса $180°$)

$ \sin 495° = \sin(360° + 135°) = \sin 135° = \sin(180° - 45°) = \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ \cos 945° = \cos(2 \cdot 360° + 225°) = \cos 225° = \cos(180° + 45°) = -\cos 45° = -\frac{\sqrt{2}}{2} $

2. Подставим полученные значения в исходное выражение:

$ 0 - \frac{\sqrt{2}}{2} + (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{2\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} $

Ответ: $-\sqrt{2}$

г) $ \cos(-9\pi) + 2 \sin(-\frac{49\pi}{6}) - \operatorname{ctg}(-\frac{21\pi}{4}) $

Используем свойства чётности/нечётности функций и их периодичность.

1. Упростим каждый член выражения:

$ \cos(-9\pi) = \cos(9\pi) = \cos(8\pi + \pi) = \cos(\pi) = -1 $ (так как косинус - функция чётная)

$ 2 \sin(-\frac{49\pi}{6}) = -2 \sin(\frac{49\pi}{6}) = -2 \sin(8\pi + \frac{\pi}{6}) = -2 \sin(\frac{\pi}{6}) = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1 $ (синус - нечётная)

$ \operatorname{ctg}(-\frac{21\pi}{4}) = -\operatorname{ctg}(\frac{21\pi}{4}) = -\operatorname{ctg}(5\pi + \frac{\pi}{4}) = -\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{4}) = -1 $ (котангенс - нечётная)

2. Подставим полученные значения в исходное выражение:

$ -1 + (-1) - (-1) = -1 - 1 + 1 = -1 $

Ответ: $-1$