Номер 26.12, страница 161, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

26.12. a) $\frac{\sin^3 (\alpha - 270^\circ) \cos (360^\circ - \alpha)}{\operatorname{tg}^3 (\alpha - 90^\circ) \cos^3 (\alpha - 270^\circ)}$;

б) $\frac{\sin \left( \frac{3\pi}{2} + x \right) \operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{2} + y \right)}{\cos (\pi - x) \operatorname{ctg} \left( \frac{3\pi}{2} - y \right)} - \frac{\sin \left( \frac{7\pi}{2} - y \right) \operatorname{ctg} \left( \frac{5\pi}{2} + x \right)}{\cos (2\pi - y) \operatorname{tg} (11\pi - x)}.$

a) Упростим выражение $ \frac{\sin^3(\alpha - 270^\circ) \cos(360^\circ - \alpha)}{\text{tg}^3(\alpha - 90^\circ) \cos^3(\alpha - 270^\circ)} $.

Для этого воспользуемся формулами приведения, чтобы упростить каждый тригонометрический член.

1. $ \sin(\alpha - 270^\circ) = \sin(- (270^\circ - \alpha)) = -\sin(270^\circ - \alpha) $. Угол $ 270^\circ - \alpha $ находится в III четверти, где синус отрицателен. Так как точка $ 270^\circ $ находится на вертикальной оси, функция меняется на кофункцию (косинус). Получаем: $ -(-\cos\alpha) = \cos\alpha $.
Следовательно, $ \sin^3(\alpha - 270^\circ) = \cos^3\alpha $.

2. $ \cos(360^\circ - \alpha) = \cos\alpha $. Угол $ 360^\circ - \alpha $ находится в IV четверти, где косинус положителен. Функция не меняется.

3. $ \text{tg}(\alpha - 90^\circ) = \text{tg}(- (90^\circ - \alpha)) = -\text{tg}(90^\circ - \alpha) $. Угол $ 90^\circ - \alpha $ находится в I четверти, где тангенс положителен. Так как точка $ 90^\circ $ находится на вертикальной оси, функция меняется на кофункцию (котангенс). Получаем: $ -\text{ctg}\alpha $.
Следовательно, $ \text{tg}^3(\alpha - 90^\circ) = (-\text{ctg}\alpha)^3 = -\text{ctg}^3\alpha $.

4. $ \cos(\alpha - 270^\circ) = \cos(-(270^\circ - \alpha)) = \cos(270^\circ - \alpha) $. Угол $ 270^\circ - \alpha $ находится в III четверти, где косинус отрицателен. Функция меняется на синус. Получаем: $ -\sin\alpha $.
Следовательно, $ \cos^3(\alpha - 270^\circ) = (-\sin\alpha)^3 = -\sin^3\alpha $.

Теперь подставим упрощенные выражения в исходную дробь:

$ \frac{\cos^3\alpha \cdot \cos\alpha}{(-\text{ctg}^3\alpha) \cdot (-\sin^3\alpha)} = \frac{\cos^4\alpha}{\text{ctg}^3\alpha \cdot \sin^3\alpha} $

Зная, что $ \text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $, заменим $ \text{ctg}^3\alpha $ на $ \frac{\cos^3\alpha}{\sin^3\alpha} $:

$ \frac{\cos^4\alpha}{\frac{\cos^3\alpha}{\sin^3\alpha} \cdot \sin^3\alpha} = \frac{\cos^4\alpha}{\cos^3\alpha} = \cos\alpha $

Ответ: $ \cos\alpha $

б) Упростим выражение $ \frac{\sin(\frac{3\pi}{2} + x) \text{tg}(\frac{\pi}{2} + y)}{\cos(\pi - x) \text{ctg}(\frac{3\pi}{2} - y)} - \frac{\sin(\frac{7\pi}{2} - y) \text{ctg}(\frac{5\pi}{2} + x)}{\cos(2\pi - y) \text{tg}(11\pi - x)} $.

Упростим каждую дробь по отдельности.

Первая дробь: $ \frac{\sin(\frac{3\pi}{2} + x) \text{tg}(\frac{\pi}{2} + y)}{\cos(\pi - x) \text{ctg}(\frac{3\pi}{2} - y)} $

Применяем формулы приведения:

$ \sin(\frac{3\pi}{2} + x) = -\cos x $ (IV четверть, sin < 0, функция меняется)

$ \text{tg}(\frac{\pi}{2} + y) = -\text{ctg} y $ (II четверть, tg < 0, функция меняется)

$ \cos(\pi - x) = -\cos x $ (II четверть, cos < 0, функция не меняется)

$ \text{ctg}(\frac{3\pi}{2} - y) = \text{tg} y $ (III четверть, ctg > 0, функция меняется)

Подставляем в первую дробь:

$ \frac{(-\cos x)(-\text{ctg} y)}{(-\cos x)(\text{tg} y)} = \frac{\cos x \cdot \text{ctg} y}{-\cos x \cdot \text{tg} y} = -\frac{\text{ctg} y}{\text{tg} y} = -\frac{1/\text{tg} y}{\text{tg} y} = -\frac{1}{\text{tg}^2 y} = -\text{ctg}^2 y $

Вторая дробь: $ \frac{\sin(\frac{7\pi}{2} - y) \text{ctg}(\frac{5\pi}{2} + x)}{\cos(2\pi - y) \text{tg}(11\pi - x)} $

Применяем формулы приведения, учитывая периодичность функций:

$ \sin(\frac{7\pi}{2} - y) = \sin(2\pi + \frac{3\pi}{2} - y) = \sin(\frac{3\pi}{2} - y) = -\cos y $ (III четверть, sin < 0, функция меняется)

$ \text{ctg}(\frac{5\pi}{2} + x) = \text{ctg}(2\pi + \frac{\pi}{2} + x) = \text{ctg}(\frac{\pi}{2} + x) = -\text{tg} x $ (II четверть, ctg < 0, функция меняется)

$ \cos(2\pi - y) = \cos(-y) = \cos y $ (IV четверть, cos > 0, функция не меняется)

$ \text{tg}(11\pi - x) = \text{tg}(\pi - x) = -\text{tg} x $ (II четверть, tg < 0, функция не меняется)

Подставляем во вторую дробь:

$ \frac{(-\cos y)(-\text{tg} x)}{(\cos y)(-\text{tg} x)} = \frac{\cos y \cdot \text{tg} x}{-\cos y \cdot \text{tg} x} = -1 $

Итоговое выражение:

Вычитаем значение второй дроби из значения первой:

$ (-\text{ctg}^2 y) - (-1) = 1 - \text{ctg}^2 y $

Ответ: $ 1 - \text{ctg}^2 y $