Номер 26.18, страница 162, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

26.18. а) $\frac{\cos 105^\circ \cos 5^\circ + \sin 105^\circ \cos 85^\circ}{\sin 195^\circ \cos 5^\circ + \cos 195^\circ \sin 185^\circ}.$

б) $\frac{\sin 75^\circ \cos 5^\circ - \cos 75^\circ \cos 85^\circ}{\cos 375^\circ \cos 5^\circ - \sin 15^\circ \sin 365^\circ}.$

Рассмотрим выражение: $ \frac{\cos 105^\circ \cos 5^\circ + \sin 105^\circ \cos 85^\circ}{\sin 195^\circ \cos 5^\circ + \cos 195^\circ \sin 185^\circ} $. Упростим его, преобразовав числитель и знаменатель по отдельности.

В числителе $ \cos 105^\circ \cos 5^\circ + \sin 105^\circ \cos 85^\circ $ используем формулу приведения $ \cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha $. Получаем: $ \cos 85^\circ = \cos(90^\circ - 5^\circ) = \sin 5^\circ $. Подставив это значение, выражение в числителе принимает вид $ \cos 105^\circ \cos 5^\circ + \sin 105^\circ \sin 5^\circ $. Это соответствует формуле косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $. Таким образом, числитель равен $ \cos(105^\circ - 5^\circ) = \cos 100^\circ $.

В знаменателе $ \sin 195^\circ \cos 5^\circ + \cos 195^\circ \sin 185^\circ $ используем формулу приведения $ \sin(180^\circ + \alpha) = -\sin \alpha $. Получаем: $ \sin 185^\circ = \sin(180^\circ + 5^\circ) = -\sin 5^\circ $. Подставив это значение, выражение в знаменателе становится $ \sin 195^\circ \cos 5^\circ + \cos 195^\circ (-\sin 5^\circ) = \sin 195^\circ \cos 5^\circ - \cos 195^\circ \sin 5^\circ $. Это соответствует формуле синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $. Таким образом, знаменатель равен $ \sin(195^\circ - 5^\circ) = \sin 190^\circ $.

В результате преобразований вся дробь равна $ \frac{\cos 100^\circ}{\sin 190^\circ} $. Чтобы упростить это выражение, снова применим формулы приведения: $ \cos 100^\circ = \cos(90^\circ + 10^\circ) = -\sin 10^\circ $ и $ \sin 190^\circ = \sin(180^\circ + 10^\circ) = -\sin 10^\circ $. Окончательно получаем $ \frac{-\sin 10^\circ}{-\sin 10^\circ} = 1 $.

Ответ: 1

Рассмотрим выражение: $ \frac{\sin 75^\circ \cos 5^\circ - \cos 75^\circ \cos 85^\circ}{\cos 375^\circ \cos 5^\circ - \sin 15^\circ \sin 365^\circ} $. Упростим его по частям.

В числителе $ \sin 75^\circ \cos 5^\circ - \cos 75^\circ \cos 85^\circ $ заменим $ \cos 85^\circ $, используя формулу приведения $ \cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha $. Это дает $ \cos 85^\circ = \cos(90^\circ - 5^\circ) = \sin 5^\circ $. Числитель принимает вид $ \sin 75^\circ \cos 5^\circ - \cos 75^\circ \sin 5^\circ $, что является формулой синуса разности $ \sin(\alpha - \beta) $. Таким образом, числитель равен $ \sin(75^\circ - 5^\circ) = \sin 70^\circ $.

В знаменателе $ \cos 375^\circ \cos 5^\circ - \sin 15^\circ \sin 365^\circ $ воспользуемся периодичностью тригонометрических функций ($ T=360^\circ $). Имеем: $ \cos 375^\circ = \cos(15^\circ + 360^\circ) = \cos 15^\circ $ и $ \sin 365^\circ = \sin(5^\circ + 360^\circ) = \sin 5^\circ $. Знаменатель принимает вид $ \cos 15^\circ \cos 5^\circ - \sin 15^\circ \sin 5^\circ $, что является формулой косинуса суммы $ \cos(\alpha + \beta) $. Таким образом, знаменатель равен $ \cos(15^\circ + 5^\circ) = \cos 20^\circ $.

Вся дробь равна $ \frac{\sin 70^\circ}{\cos 20^\circ} $. Используя формулу приведения $ \sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha $, получаем $ \sin 70^\circ = \sin(90^\circ - 20^\circ) = \cos 20^\circ $. Следовательно, значение выражения равно $ \frac{\cos 20^\circ}{\cos 20^\circ} = 1 $.

Ответ: 1