Номер 26.25, страница 163, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

26.25. a) $cos (\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}) - 3 cos (\pi - \frac{x}{2}) = 0;$

б) $\sqrt{3} sin (\pi - \frac{x}{3}) + 3 sin (\frac{\pi}{2} - \frac{x}{3}) = 0.$

a) $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}\right) - 3\cos\left(\pi - \frac{x}{2}\right) = 0$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулами приведения:

1. $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin(\alpha)$. При $\alpha = \frac{x}{2}$, получаем $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}\right) = \sin\left(\frac{x}{2}\right)$.

2. $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$. При $\alpha = \frac{x}{2}$, получаем $\cos\left(\pi - \frac{x}{2}\right) = -\cos\left(\frac{x}{2}\right)$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$\sin\left(\frac{x}{2}\right) - 3\left(-\cos\left(\frac{x}{2}\right)\right) = 0$

$\sin\left(\frac{x}{2}\right) + 3\cos\left(\frac{x}{2}\right) = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Чтобы его решить, разделим обе части на $\cos\left(\frac{x}{2}\right)$. Это действие является корректным, так как если $\cos\left(\frac{x}{2}\right) = 0$, то из уравнения следовало бы, что $\sin\left(\frac{x}{2}\right) = 0$. Однако, одновременное равенство синуса и косинуса одного и того же угла нулю невозможно согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.

$\frac{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos\left(\frac{x}{2}\right)} + \frac{3\cos\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos\left(\frac{x}{2}\right)} = 0$

$\tan\left(\frac{x}{2}\right) + 3 = 0$

$\tan\left(\frac{x}{2}\right) = -3$

Теперь найдём $\frac{x}{2}$:

$\frac{x}{2} = \arctan(-3) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Используя свойство $\arctan(-a) = -\arctan(a)$, получаем:

$\frac{x}{2} = -\arctan(3) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Выразим $x$, умножив обе части на 2:

$x = -2\arctan(3) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -2\arctan(3) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

б) $\sqrt{3}\sin\left(\pi - \frac{x}{3}\right) + 3\sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{3}\right) = 0$

Воспользуемся формулами приведения:

1. $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$. При $\alpha = \frac{x}{3}$, получаем $\sin\left(\pi - \frac{x}{3}\right) = \sin\left(\frac{x}{3}\right)$.

2. $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos(\alpha)$. При $\alpha = \frac{x}{3}$, получаем $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{3}\right) = \cos\left(\frac{x}{3}\right)$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$\sqrt{3}\sin\left(\frac{x}{3}\right) + 3\cos\left(\frac{x}{3}\right) = 0$

Это также однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Разделим обе части на $\cos\left(\frac{x}{3}\right) \neq 0$ (по аналогии с пунктом а).

$\frac{\sqrt{3}\sin\left(\frac{x}{3}\right)}{\cos\left(\frac{x}{3}\right)} + \frac{3\cos\left(\frac{x}{3}\right)}{\cos\left(\frac{x}{3}\right)} = 0$

$\sqrt{3}\tan\left(\frac{x}{3}\right) + 3 = 0$

$\sqrt{3}\tan\left(\frac{x}{3}\right) = -3$

$\tan\left(\frac{x}{3}\right) = -\frac{3}{\sqrt{3}} = -\frac{3\sqrt{3}}{3} = -\sqrt{3}$

Теперь найдём $\frac{x}{3}$:

$\frac{x}{3} = \arctan(-\sqrt{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Так как $\arctan(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$, то:

$\frac{x}{3} = -\frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Выразим $x$, умножив обе части на 3:

$x = 3\left(-\frac{\pi}{3} + \pi n\right)$

$x = -\pi + 3\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\pi + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$