Номер 26.26, страница 163, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

26.26. a) $\sin^2 x + \cos (\frac{\pi}{2} - x) \sin (\frac{\pi}{2} - x) - 2 \cos^2 x = 0;$

б) $\sin^2 3x + 3 \cos^2 3x - 4 \sin (\frac{\pi}{2} + 3x) \cos (\frac{\pi}{2} + 3x) = 0;$

в) $\sin^2 x + 2 \sin (\pi - x) \cos x - 3 \cos^2 (2\pi - x) = 0;$

г) $\sin^2 (2\pi - 3x) + 5 \sin (\pi - 3x) \cos 3x + 4 \sin^2 (\frac{3\pi}{2} - 3x) = 0.$

а) $sin^2 x + cos(\frac{\pi}{2} - x) sin(\frac{\pi}{2} - x) - 2 cos^2 x = 0$

Применим формулы приведения: $cos(\frac{\pi}{2} - x) = sin x$ и $sin(\frac{\pi}{2} - x) = cos x$.

Подставим их в исходное уравнение:

$sin^2 x + sin x \cdot cos x - 2 cos^2 x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Проверим, являются ли решения уравнения $cos x = 0$ корнями данного уравнения. Если $cos x = 0$, то $sin^2 x = 1$. Подставив в уравнение, получим $1 + 0 - 0 = 1 \neq 0$. Значит, $cos x \neq 0$. Можем разделить обе части уравнения на $cos^2 x$:

$\frac{sin^2 x}{cos^2 x} + \frac{sin x \cdot cos x}{cos^2 x} - \frac{2 cos^2 x}{cos^2 x} = 0$

$tan^2 x + tan x - 2 = 0$

Сделаем замену $t = tan x$. Получим квадратное уравнение:

$t^2 + t - 2 = 0$

Корни этого уравнения (по теореме Виета): $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Вернемся к замене:

1) $tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $tan x = -2 \implies x = arctan(-2) + \pi k = -\arctan 2 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n; x = -\arctan 2 + \pi k, n, k \in \mathbb{Z}$.

б) $sin^2 3x + 3 cos^2 3x - 4 sin(\frac{\pi}{2} + 3x) cos(\frac{\pi}{2} + 3x) = 0$

Применим формулы приведения: $sin(\frac{\pi}{2} + 3x) = cos 3x$ и $cos(\frac{\pi}{2} + 3x) = -sin 3x$.

Подставим их в уравнение:

$sin^2 3x + 3 cos^2 3x - 4 (cos 3x)(-sin 3x) = 0$

$sin^2 3x + 4 sin 3x cos 3x + 3 cos^2 3x = 0$

Это однородное уравнение. Разделим обе части на $cos^2 3x$ (случай $cos 3x = 0$ не является решением, так как тогда $sin^2 3x=1$ и $1+0+0=1\neq 0$):

$\frac{sin^2 3x}{cos^2 3x} + \frac{4 sin 3x cos 3x}{cos^2 3x} + \frac{3 cos^2 3x}{cos^2 3x} = 0$

$tan^2 3x + 4 tan 3x + 3 = 0$

Сделаем замену $t = tan 3x$:

$t^2 + 4t + 3 = 0$

Корни уравнения: $t_1 = -1$ и $t_2 = -3$.

Вернемся к замене:

1) $tan 3x = -1 \implies 3x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$

2) $tan 3x = -3 \implies 3x = arctan(-3) + \pi k \implies x = -\frac{\arctan 3}{3} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}; x = -\frac{\arctan 3}{3} + \frac{\pi k}{3}, n, k \in \mathbb{Z}$.

в) $sin^2 x + 2 sin(\pi - x) cos x - 3 cos^2 (2\pi - x) = 0$

Применим формулы приведения: $sin(\pi - x) = sin x$ и $cos(2\pi - x) = cos x$.

Подставим их в уравнение:

$sin^2 x + 2 sin x cos x - 3 cos^2 x = 0$

Это однородное уравнение. Разделим обе части на $cos^2 x$ (случай $cos x = 0$ не является решением, так как тогда $sin^2 x = 1$ и $1+0-0=1\neq 0$):

$\frac{sin^2 x}{cos^2 x} + \frac{2 sin x cos x}{cos^2 x} - \frac{3 cos^2 x}{cos^2 x} = 0$

$tan^2 x + 2 tan x - 3 = 0$

Сделаем замену $t = tan x$:

$t^2 + 2t - 3 = 0$

Корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.

Вернемся к замене:

1) $tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $tan x = -3 \implies x = arctan(-3) + \pi k = -\arctan 3 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n; x = -\arctan 3 + \pi k, n, k \in \mathbb{Z}$.

г) $sin^2 (2\pi - 3x) + 5 sin(\pi - 3x) cos 3x + 4 sin^2 (\frac{3\pi}{2} - 3x) = 0$

Применим формулы приведения:

$sin(2\pi - 3x) = -sin 3x \implies sin^2(2\pi - 3x) = sin^2 3x$

$sin(\pi - 3x) = sin 3x$

$sin(\frac{3\pi}{2} - 3x) = -cos 3x \implies sin^2(\frac{3\pi}{2} - 3x) = cos^2 3x$

Подставим их в уравнение:

$sin^2 3x + 5 sin 3x cos 3x + 4 cos^2 3x = 0$

Это однородное уравнение. Разделим обе части на $cos^2 3x$ (случай $cos 3x = 0$ не является решением, так как тогда $sin^2 3x=1$ и $1+0+0=1\neq 0$):

$\frac{sin^2 3x}{cos^2 3x} + \frac{5 sin 3x cos 3x}{cos^2 3x} + \frac{4 cos^2 3x}{cos^2 3x} = 0$

$tan^2 3x + 5 tan 3x + 4 = 0$

Сделаем замену $t = tan 3x$:

$t^2 + 5t + 4 = 0$

Корни уравнения: $t_1 = -1$ и $t_2 = -4$.

Вернемся к замене:

1) $tan 3x = -1 \implies 3x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$

2) $tan 3x = -4 \implies 3x = arctan(-4) + \pi k \implies x = -\frac{\arctan 4}{3} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}; x = -\frac{\arctan 4}{3} + \frac{\pi k}{3}, n, k \in \mathbb{Z}$.