Номер 26.24, страница 163, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

26.24. a) $ \sin\left(\frac{\pi}{2} + 2x\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) = 0; $

б) $ 2 \sin(\pi - 3x) + \cos(2\pi - 3x) = 0. $

a) $ \sin(\frac{\pi}{2} + 2x) + \cos(\frac{\pi}{2} - 2x) = 0 $

Для решения данного уравнения воспользуемся формулами приведения, которые позволяют упростить тригонометрические выражения:

$ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos(\alpha) $

$ \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\alpha) $

Применив эти формулы к нашему уравнению, где в качестве $ \alpha $ выступает $ 2x $, получим следующее эквивалентное уравнение:

$ \cos(2x) + \sin(2x) = 0 $

Это однородное тригонометрическое уравнение первого порядка. Для его решения разделим обе части уравнения на $ \cos(2x) $. Такое деление возможно, поскольку $ \cos(2x) $ не может быть равен нулю в решениях данного уравнения. Если предположить, что $ \cos(2x) = 0 $, то из уравнения $ \cos(2x) + \sin(2x) = 0 $ следовало бы, что и $ \sin(2x) = 0 $. Однако $ \sin(2x) $ и $ \cos(2x) $ не могут одновременно равняться нулю, так как это противоречит основному тригонометрическому тождеству $ \sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1 $.

Выполняем деление:

$ \frac{\cos(2x)}{\cos(2x)} + \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = 0 $

$ 1 + \tan(2x) = 0 $

$ \tan(2x) = -1 $

Теперь найдем общее решение для аргумента $ 2x $:

$ 2x = \arctan(-1) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Поскольку $ \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4} $, имеем:

$ 2x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Чтобы найти $ x $, разделим обе части равенства на 2:

$ x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $.

б) $ 2\sin(\pi - 3x) + \cos(2\pi - 3x) = 0 $

Снова воспользуемся формулами приведения для упрощения исходного уравнения:

$ \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) $

$ \cos(2\pi - \alpha) = \cos(\alpha) $

В данном случае $ \alpha = 3x $. Подставим упрощенные выражения в уравнение:

$ 2\sin(3x) + \cos(3x) = 0 $

Мы получили однородное тригонометрическое уравнение первого порядка. Разделим обе его части на $ \cos(3x) $. Как и в предыдущем пункте, $ \cos(3x) \neq 0 $, так как в противном случае из уравнения следовало бы, что $ \sin(3x) = 0 $, что невозможно.

$ \frac{2\sin(3x)}{\cos(3x)} + \frac{\cos(3x)}{\cos(3x)} = 0 $

$ 2\tan(3x) + 1 = 0 $

$ 2\tan(3x) = -1 $

$ \tan(3x) = -\frac{1}{2} $

Найдем общее решение для $ 3x $:

$ 3x = \arctan(-\frac{1}{2}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Используя свойство нечетности арктангенса $ \arctan(-a) = -\arctan(a) $, перепишем выражение:

$ 3x = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Наконец, выразим $ x $, разделив обе части на 3:

$ x = -\frac{1}{3}\arctan\frac{1}{2} + \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = -\frac{1}{3}\arctan\frac{1}{2} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $.