Номер 26.22, страница 163, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

26.22. a) $5 \sin \left(\frac{\pi}{2} + x\right) - \sin \left(\frac{3\pi}{2} + x\right) - 8 \cos (2\pi - x) = 1;$

б) $\sin (2\pi + x) - \cos \left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \sin (\pi - x) = 1.$

а) $5 \sin(\frac{\pi}{2} + x) - \sin(\frac{3\pi}{2} + x) - 8 \cos(2\pi - x) = 1$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулами приведения, которые позволяют упростить тригонометрические функции.

1. Упростим $\sin(\frac{\pi}{2} + x)$. Согласно формуле приведения, если в аргументе есть $\frac{\pi}{2}$ или $\frac{3\pi}{2}$, функция меняется на кофункцию (синус на косинус). Угол $\frac{\pi}{2} + x$ находится во II четверти, где синус положителен. Таким образом, $\sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos(x)$.

2. Упростим $\sin(\frac{3\pi}{2} + x)$. Функция также меняется на косинус. Угол $\frac{3\pi}{2} + x$ находится в IV четверти, где синус отрицателен. Таким образом, $\sin(\frac{3\pi}{2} + x) = -\cos(x)$.

3. Упростим $\cos(2\pi - x)$. Если в аргументе есть $\pi$ или $2\pi$, функция не меняется. Угол $2\pi - x$ находится в IV четверти, где косинус положителен. Также можно использовать свойство периодичности косинуса. Таким образом, $\cos(2\pi - x) = \cos(x)$.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное уравнение:

$5(\cos x) - (-\cos x) - 8(\cos x) = 1$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$5\cos x + \cos x - 8\cos x = 1$

$6\cos x - 8\cos x = 1$

$-2\cos x = 1$

Разделим обе части уравнения на -2:

$\cos x = -\frac{1}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для $\cos x = a$ имеет вид $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$

Так как $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$, получаем решение:

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin(2\pi + x) - \cos(\frac{\pi}{2} - x) + \sin(\pi - x) = 1$

Аналогично предыдущему пункту, применим формулы приведения для каждого слагаемого.

1. Упростим $\sin(2\pi + x)$. В силу периодичности функции синус (период $2\pi$), имеем: $\sin(2\pi + x) = \sin(x)$.

2. Упростим $\cos(\frac{\pi}{2} - x)$. Функция меняется на синус. Угол $\frac{\pi}{2} - x$ находится в I четверти, где косинус положителен. Следовательно, $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(x)$.

3. Упростим $\sin(\pi - x)$. Функция не меняется. Угол $\pi - x$ находится во II четверти, где синус положителен. Следовательно, $\sin(\pi - x) = \sin(x)$.

Подставим полученные выражения в уравнение:

$\sin x - \sin x + \sin x = 1$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$\sin x = 1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Его решение:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.