Номер 26.16, страница 162, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

26.16. a) $\sin 77^\circ \cos 17^\circ - \sin 13^\circ \cos 73^\circ$;

б) $\cos 125^\circ \cos 5^\circ + \sin 55^\circ \cos 85^\circ$.

а) $ \sin 77^\circ \cos 17^\circ - \sin 13^\circ \cos 73^\circ $

Для решения данной задачи воспользуемся формулами приведения, которые позволяют выразить тригонометрические функции одного угла через функции другого. Основные формулы, которые нам понадобятся: $ \sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha $ и $ \cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha $.

Преобразуем вторую часть выражения, а именно $ \sin 13^\circ $ и $ \cos 73^\circ $:

$ \sin 13^\circ = \sin(90^\circ - 77^\circ) = \cos 77^\circ $

$ \cos 73^\circ = \cos(90^\circ - 17^\circ) = \sin 17^\circ $

Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

$ \sin 77^\circ \cos 17^\circ - \sin 13^\circ \cos 73^\circ = \sin 77^\circ \cos 17^\circ - \cos 77^\circ \sin 17^\circ $

Мы получили выражение, которое в точности соответствует формуле синуса разности двух углов: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $.

В нашем случае $ \alpha = 77^\circ $ и $ \beta = 17^\circ $. Применим формулу:

$ \sin 77^\circ \cos 17^\circ - \cos 77^\circ \sin 17^\circ = \sin(77^\circ - 17^\circ) = \sin(60^\circ) $

Значение синуса 60 градусов является табличным:

$ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $

б) $ \cos 125^\circ \cos 5^\circ + \sin 55^\circ \cos 85^\circ $

Для упрощения этого выражения также используем формулы приведения. Нам пригодятся следующие соотношения: $ \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha $ и $ \cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha $.

Преобразуем $ \cos 125^\circ $ и $ \cos 85^\circ $:

$ \cos 125^\circ = \cos(180^\circ - 55^\circ) = -\cos 55^\circ $

$ \cos 85^\circ = \cos(90^\circ - 5^\circ) = \sin 5^\circ $

Подставим эти значения в исходное выражение:

$ \cos 125^\circ \cos 5^\circ + \sin 55^\circ \cos 85^\circ = (-\cos 55^\circ) \cos 5^\circ + \sin 55^\circ (\sin 5^\circ) $

Переставим слагаемые для наглядности:

$ \sin 55^\circ \sin 5^\circ - \cos 55^\circ \cos 5^\circ $

Это выражение очень похоже на формулу косинуса суммы. Вынесем знак минус за скобки, чтобы привести его к стандартному виду:

$ -(\cos 55^\circ \cos 5^\circ - \sin 55^\circ \sin 5^\circ) $

Выражение в скобках является формулой косинуса суммы двух углов: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $.

В данном случае $ \alpha = 55^\circ $ и $ \beta = 5^\circ $. Применяем формулу:

$ -(\cos(55^\circ + 5^\circ)) = -\cos(60^\circ) $

Значение косинуса 60 градусов является табличным:

$ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} $

Таким образом, окончательный результат:

$ -\frac{1}{2} $

Ответ: $ -\frac{1}{2} $