Номер 26.10, страница 161, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

26.10. a) $\frac{\cos (180^{\circ} + \alpha) \cos (-\alpha)}{\sin (-\alpha) \sin (90^{\circ} + \alpha)};$

Б) $\frac{\sin (\pi - t) \cos (2\pi - t)}{\operatorname{tg} (\pi - t) \cos (\pi - t)};$

В) $\frac{\sin (-\alpha) \operatorname{ctg} (-\alpha)}{\cos (360^{\circ} - \alpha) \operatorname{tg} (180^{\circ} + \alpha)};$

Г) $\frac{\sin (\pi + t) \sin (2\pi + t)}{\operatorname{tg} (\pi + t) \cos \left(\frac{3\pi}{2} + t\right)}.$

а) Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами приведения и свойствами четности тригонометрических функций.
Применим следующие тождества:
$ \cos(180^\circ + \alpha) = -\cos(\alpha) $ (поскольку угол $ 180^\circ + \alpha $ находится в III четверти, где косинус отрицателен).
$ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $ (косинус является четной функцией).
$ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $ (синус является нечетной функцией).
$ \sin(90^\circ + \alpha) = \cos(\alpha) $ (поскольку угол $ 90^\circ + \alpha $ находится во II четверти, где синус положителен, и при прибавлении $ 90^\circ $ функция меняется на кофункцию).
Подставим эти преобразования в исходное выражение:
$ \frac{\cos(180^\circ + \alpha)\cos(-\alpha)}{\sin(-\alpha)\sin(90^\circ + \alpha)} = \frac{(-\cos(\alpha)) \cdot \cos(\alpha)}{(-\sin(\alpha)) \cdot \cos(\alpha)} = \frac{-\cos^2(\alpha)}{-\sin(\alpha)\cos(\alpha)} $
Сократим числитель и знаменатель на $ -\cos(\alpha) $ (при условии, что $ \cos(\alpha) \neq 0 $):
$ \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \ctg(\alpha) $
Ответ: $ \ctg(\alpha) $.

б) Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами приведения.
Применим следующие тождества:
$ \sin(\pi - t) = \sin(t) $ (угол $ \pi - t $ находится во II четверти, где синус положителен).
$ \cos(2\pi - t) = \cos(t) $ (в силу периодичности косинуса, или т.к. угол $ 2\pi - t $ находится в IV четверти, где косинус положителен).
$ \tg(\pi - t) = -\tg(t) $ (угол $ \pi - t $ находится во II четверти, где тангенс отрицателен).
$ \cos(\pi - t) = -\cos(t) $ (угол $ \pi - t $ находится во II четверти, где косинус отрицателен).
Подставим эти преобразования в исходное выражение:
$ \frac{\sin(\pi - t)\cos(2\pi - t)}{\tg(\pi - t)\cos(\pi - t)} = \frac{\sin(t) \cdot \cos(t)}{(-\tg(t)) \cdot (-\cos(t))} = \frac{\sin(t)\cos(t)}{\tg(t)\cos(t)} $
Сократим дробь на $ \cos(t) $ (при условии, что $ \cos(t) \neq 0 $):
$ \frac{\sin(t)}{\tg(t)} $
По определению тангенса $ \tg(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)} $. Подставим это в выражение:
$ \frac{\sin(t)}{\frac{\sin(t)}{\cos(t)}} = \sin(t) \cdot \frac{\cos(t)}{\sin(t)} = \cos(t) $
Ответ: $ \cos(t) $.

в) Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами приведения и свойствами нечетности тригонометрических функций.
Применим следующие тождества:
$ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $ (синус — нечетная функция).
$ \ctg(-\alpha) = -\ctg(\alpha) $ (котангенс — нечетная функция).
$ \cos(360^\circ - \alpha) = \cos(\alpha) $ (в силу периодичности косинуса, или т.к. угол $ 360^\circ - \alpha $ находится в IV четверти, где косинус положителен).
$ \tg(180^\circ + \alpha) = \tg(\alpha) $ (угол $ 180^\circ + \alpha $ находится в III четверти, где тангенс положителен).
Подставим эти преобразования в исходное выражение:
$ \frac{\sin(-\alpha)\ctg(-\alpha)}{\cos(360^\circ - \alpha)\tg(180^\circ + \alpha)} = \frac{(-\sin(\alpha)) \cdot (-\ctg(\alpha))}{\cos(\alpha) \cdot \tg(\alpha)} = \frac{\sin(\alpha)\ctg(\alpha)}{\cos(\alpha)\tg(\alpha)} $
Используем определения тангенса и котангенса: $ \ctg(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} $ и $ \tg(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $.
Упростим числитель: $ \sin(\alpha)\ctg(\alpha) = \sin(\alpha) \cdot \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \cos(\alpha) $.
Упростим знаменатель: $ \cos(\alpha)\tg(\alpha) = \cos(\alpha) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \sin(\alpha) $.
Тогда дробь примет вид:
$ \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \ctg(\alpha) $
Ответ: $ \ctg(\alpha) $.

г) Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами приведения.
Применим следующие тождества:
$ \sin(\pi + t) = -\sin(t) $ (угол $ \pi + t $ находится в III четверти, где синус отрицателен).
$ \sin(2\pi + t) = \sin(t) $ (в силу периодичности синуса).
$ \tg(\pi + t) = \tg(t) $ (угол $ \pi + t $ находится в III четверти, где тангенс положителен).
$ \cos(\frac{3\pi}{2} + t) = \sin(t) $ (угол $ \frac{3\pi}{2} + t $ находится в IV четверти, где косинус положителен, и функция меняется на кофункцию).
Подставим эти преобразования в исходное выражение:
$ \frac{\sin(\pi + t)\sin(2\pi + t)}{\tg(\pi + t)\cos(\frac{3\pi}{2} + t)} = \frac{(-\sin(t)) \cdot \sin(t)}{\tg(t) \cdot \sin(t)} = \frac{-\sin^2(t)}{\tg(t)\sin(t)} $
Сократим дробь на $ \sin(t) $ (при условии, что $ \sin(t) \neq 0 $):
$ \frac{-\sin(t)}{\tg(t)} $
По определению тангенса $ \tg(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)} $. Подставим это в выражение:
$ \frac{-\sin(t)}{\frac{\sin(t)}{\cos(t)}} = -\sin(t) \cdot \frac{\cos(t)}{\sin(t)} = -\cos(t) $
Ответ: $ -\cos(t) $.