Номер 26.4, страница 160, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

26.4. a) $ \text{tg} (90^\circ - \alpha) $;

б) $ \text{ctg} (180^\circ - \alpha) $;

в) $ \text{tg} (270^\circ + \alpha) $;

г) $ \text{ctg} (360^\circ + \alpha) $.

а) Для упрощения выражения $tg(90^\circ - \alpha)$ применяются формулы приведения.
1. Поскольку в аргументе функции присутствует угол $90^\circ$ (опорный угол на вертикальной оси OY), исходная функция тангенс ($tg$) заменяется на кофункцию, то есть на котангенс ($ctg$).
2. Для определения знака итогового выражения определим, в какой координатной четверти находится угол $90^\circ - \alpha$, если считать $\alpha$ острым углом ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$). Этот угол будет находиться в I четверти.
3. Исходная функция, тангенс, в I четверти имеет положительный знак.
Следовательно, итоговое выражение будет иметь знак «+».
$tg(90^\circ - \alpha) = ctg(\alpha)$.
Ответ: $ctg(\alpha)$

б) Для упрощения выражения $ctg(180^\circ - \alpha)$ применяются формулы приведения.
1. Поскольку в аргументе функции присутствует угол $180^\circ$ (опорный угол на горизонтальной оси OX), название исходной функции (котангенс) не меняется.
2. Определим четверть для угла $180^\circ - \alpha$ (при остром $\alpha$). Этот угол находится во II четверти.
3. Исходная функция, котангенс, во II четверти имеет отрицательный знак.
Следовательно, перед функцией ставится знак «-».
$ctg(180^\circ - \alpha) = -ctg(\alpha)$.
Ответ: $-ctg(\alpha)$

в) Для упрощения выражения $tg(270^\circ + \alpha)$ применяются формулы приведения.
1. Поскольку в аргументе функции присутствует угол $270^\circ$ (опорный угол на вертикальной оси OY), исходная функция тангенс ($tg$) заменяется на кофункцию, то есть на котангенс ($ctg$).
2. Определим четверть для угла $270^\circ + \alpha$ (при остром $\alpha$). Этот угол находится в IV четверти.
3. Исходная функция, тангенс, в IV четверти имеет отрицательный знак.
Следовательно, перед итоговой функцией ставится знак «-».
$tg(270^\circ + \alpha) = -ctg(\alpha)$.
Ответ: $-ctg(\alpha)$

г) Для упрощения выражения $ctg(360^\circ + \alpha)$ используется свойство периодичности тригонометрических функций.
1. Период функции котангенс равен $180^\circ$. Так как $360^\circ$ является целым числом периодов ($360^\circ = 2 \cdot 180^\circ$), то добавление $360^\circ$ к аргументу не меняет значения функции.
$ctg(360^\circ + \alpha) = ctg(\alpha)$.
2. Также можно применить общее правило приведения: при опорном угле $360^\circ$ (ось OX) функция не меняется. Угол $360^\circ + \alpha$ попадает в ту же четверть, что и угол $\alpha$. Если считать $\alpha$ острым углом, то это I четверть, где котангенс положителен.
Следовательно, $ctg(360^\circ + \alpha) = ctg(\alpha)$.
Ответ: $ctg(\alpha)$