Номер 25.24, страница 160, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

25.24. Точка $K$ — середина стороны $CD$ квадрата $ABCD$. Чему равен тангенс острого угла между диагональю $AC$ и отрезком $BK$?

Для нахождения тангенса угла между диагональю $AC$ и отрезком $BK$ воспользуемся методом координат. Этот метод позволяет свести геометрическую задачу к алгебраическим вычислениям.

1. Введение системы координат и определение координат вершин.

Поместим квадрат $ABCD$ в прямоугольную систему координат. Пусть вершина $A$ совпадает с началом координат $(0, 0)$, а сторона $AB$ лежит на оси $Ox$. Примем длину стороны квадрата за $a$. Тогда координаты вершин будут следующими:

• $A(0, 0)$
• $B(a, 0)$
• $C(a, a)$
• $D(0, a)$

2. Определение координат точки K.

По условию, точка $K$ является серединой стороны $CD$. Для нахождения её координат используем формулу середины отрезка: $K = (\frac{x_C + x_D}{2}, \frac{y_C + y_D}{2})$.

Подставляем координаты точек $C(a, a)$ и $D(0, a)$:

$K = (\frac{a + 0}{2}, \frac{a + a}{2}) = (\frac{a}{2}, a)$.

3. Нахождение угловых коэффициентов прямых AC и BK.

Угловой коэффициент $m$ прямой, проходящей через точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, вычисляется по формуле $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

• Найдем угловой коэффициент $m_{AC}$ для прямой, содержащей диагональ $AC$. Прямая проходит через точки $A(0, 0)$ и $C(a, a)$:

  $m_{AC} = \frac{a - 0}{a - 0} = 1$.

• Найдем угловой коэффициент $m_{BK}$ для прямой, содержащей отрезок $BK$. Прямая проходит через точки $B(a, 0)$ и $K(\frac{a}{2}, a)$:

  $m_{BK} = \frac{a - 0}{\frac{a}{2} - a} = \frac{a}{-\frac{a}{2}} = -2$.

4. Вычисление тангенса угла между прямыми.

Тангенс острого угла $\phi$ между двумя прямыми с угловыми коэффициентами $m_1$ и $m_2$ находится по формуле:

$\tan\phi = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|$

Подставим найденные значения $m_1 = m_{AC} = 1$ и $m_2 = m_{BK} = -2$ в формулу:

$\tan\phi = \left| \frac{-2 - 1}{1 + (1)(-2)} \right| = \left| \frac{-3}{1 - 2} \right| = \left| \frac{-3}{-1} \right| = 3$.

Таким образом, тангенс искомого острого угла равен 3.

Ответ: 3.