Номер 25.17, страница 159, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

25.17. Решите уравнение:

а) $\frac{\operatorname{tg} x+\operatorname{tg} 3 x}{1-\operatorname{tg} x \operatorname{tg} 3 x}=1;$

б) $\frac{\operatorname{tg} 5 x-\operatorname{tg} 3 x}{1+\operatorname{tg} 3 x \operatorname{tg} 5 x}=\sqrt{3}.$

а)

Исходное уравнение: $$ \frac{\tg x + \tg 3x}{1 - \tg x \tg 3x} = 1 $$ Левая часть уравнения представляет собой формулу тангенса суммы двух углов: $$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta} $$ Применим эту формулу, где $\alpha = x$ и $\beta = 3x$: $$ \tg(x + 3x) = 1 $$ $$ \tg(4x) = 1 $$ Это простейшее тригонометрическое уравнение. Решим его: $$ 4x = \operatorname{arctg}(1) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ 4x = \frac{\pi}{4} + \pi n $$ Разделим обе части на 4, чтобы найти $x$: $$ x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Теперь проверим область допустимых значений (ОДЗ). В исходном уравнении присутствуют $\tg x$ и $\tg 3x$, следовательно, их аргументы не должны быть равны $\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
1. $\cos x \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$
2. $\cos 3x \neq 0 \Rightarrow 3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$
Также знаменатель не должен быть равен нулю, что учтено в формуле тангенса суммы:
3. $\cos(x+3x) = \cos(4x) \neq 0 \Rightarrow 4x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$
Наше решение $4x = \frac{\pi}{4} + \pi n$ удовлетворяет условию $4x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, так как $\frac{\pi}{4} + \pi n$ никогда не равно $\frac{\pi}{2} + \pi k$. Проверка остальных условий показывает, что найденные корни входят в ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z}$.

б)

Исходное уравнение: $$ \frac{\tg 5x - \tg 3x}{1 + \tg 3x \tg 5x} = \sqrt{3} $$ Левая часть уравнения представляет собой формулу тангенса разности двух углов: $$ \tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1 + \tg \alpha \tg \beta} $$ Применим эту формулу, где $\alpha = 5x$ и $\beta = 3x$: $$ \tg(5x - 3x) = \sqrt{3} $$ $$ \tg(2x) = \sqrt{3} $$ Решим это простейшее тригонометрическое уравнение: $$ 2x = \operatorname{arctg}(\sqrt{3}) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ 2x = \frac{\pi}{3} + \pi n $$ Разделим обе части на 2: $$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Проверим область допустимых значений (ОДЗ). В исходном уравнении должны существовать $\tg 5x$ и $\tg 3x$.
1. $\cos 5x \neq 0 \Rightarrow 5x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}$
2. $\cos 3x \neq 0 \Rightarrow 3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$
Проверим, не попадают ли наши решения в исключенные значения.
Сравним наше решение $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$ с ограничением $x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$.
Найдем значения $n$, при которых решение совпадает с ограничением: $$ \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3} $$ $$ \frac{n}{2} = \frac{k}{3} \Rightarrow 3n = 2k $$ Это равенство выполняется для целых $n$ и $k$, если $n$ — чётное число. То есть, если $n = 2m$ для $m \in \mathbb{Z}$, то $k=3m$, и решение $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi (2m)}{2} = \frac{\pi}{6} + \pi m$ является посторонним, так как при этих значениях $\tg 3x$ не определён.
Следовательно, из серии решений $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$ нужно исключить те, где $n$ — чётное. Это означает, что $n$ должно быть нечётным.
Пусть $n = 2m + 1$, где $m \in \mathbb{Z}$. Подставим это в наше решение: $$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi (2m + 1)}{2} = \frac{\pi}{6} + \pi m + \frac{\pi}{2} = \left(\frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{6}\right) + \pi m = \frac{4\pi}{6} + \pi m = \frac{2\pi}{3} + \pi m $$ Заменив $m$ на $n$ для стандартной записи, получаем окончательный ответ. Проверка с первым ограничением ($x \neq \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}$) показывает, что конфликтов нет.

Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.