Номер 25.14, страница 159, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

25.14. Известно, что $sin \alpha = -\frac{12}{13}$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Вычислите:

а) $tg\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)$;

б) $tg\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)$.

Для решения задачи сначала найдем значения $ \cos \alpha $ и $ \text{tg} \alpha $, используя данные $ \sin \alpha = -\frac{12}{13} $ и условие $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $.

Условие $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $ означает, что угол $ \alpha $ находится в третьей координатной четверти. В этой четверти косинус отрицателен ($ \cos \alpha < 0 $), а тангенс положителен ($ \text{tg} \alpha > 0 $).

1. Найдем $ \cos \alpha $ с помощью основного тригонометрического тождества $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $:

$ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169} $.

Поскольку угол $ \alpha $ находится в третьей четверти, $ \cos \alpha $ должен быть отрицательным. Следовательно,

$ \cos \alpha = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13} $.

2. Теперь найдем $ \text{tg} \alpha $ по определению $ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $:

$ \text{tg} \alpha = \frac{-12/13}{-5/13} = \frac{12}{5} $.

Теперь мы можем вычислить требуемые значения.

а) Вычислим $ \text{tg}\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) $.

Используем формулу тангенса суммы: $ \text{tg}(x+y) = \frac{\text{tg} x + \text{tg} y}{1 - \text{tg} x \cdot \text{tg} y} $.

Подставим $ \text{tg} \alpha = \frac{12}{5} $ и $ \text{tg}\frac{\pi}{4} = 1 $:

$ \text{tg}\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\text{tg} \alpha + \text{tg}\frac{\pi}{4}}{1 - \text{tg} \alpha \cdot \text{tg}\frac{\pi}{4}} = \frac{\frac{12}{5} + 1}{1 - \frac{12}{5} \cdot 1} = \frac{\frac{12}{5} + \frac{5}{5}}{1 - \frac{12}{5}} = \frac{\frac{17}{5}}{\frac{5-12}{5}} = \frac{\frac{17}{5}}{-\frac{7}{5}} = -\frac{17}{7} $.

Ответ: $ -\frac{17}{7} $.

б) Вычислим $ \text{tg}\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) $.

Используем формулу тангенса разности: $ \text{tg}(x-y) = \frac{\text{tg} x - \text{tg} y}{1 + \text{tg} x \cdot \text{tg} y} $.

Подставим $ \text{tg} \alpha = \frac{12}{5} $ и $ \text{tg}\frac{\pi}{4} = 1 $:

$ \text{tg}\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\text{tg} \alpha - \text{tg}\frac{\pi}{4}}{1 + \text{tg} \alpha \cdot \text{tg}\frac{\pi}{4}} = \frac{\frac{12}{5} - 1}{1 + \frac{12}{5} \cdot 1} = \frac{\frac{12}{5} - \frac{5}{5}}{1 + \frac{12}{5}} = \frac{\frac{7}{5}}{\frac{5+12}{5}} = \frac{\frac{7}{5}}{\frac{17}{5}} = \frac{7}{17} $.

Ответ: $ \frac{7}{17} $.