Номер 25.20, страница 159, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

25.20. Решите систему уравнений:

a) $$\begin{cases} \text{tg} (x + y) = -3, \\ 2 \text{tg} x - \text{tg} y = 0; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} \text{tg} (x - y) = -\frac{1}{2}, \\ 2 \text{tg} x + \text{tg} y = 5. \end{cases}$$

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \tg(x + y) = -3, \\ 2\tg x - \tg y = 0; \end{cases} $$

Для решения системы воспользуемся методом замены. Пусть $u = \tg x$ и $v = \tg y$. Также применим формулу тангенса суммы: $\tg(x+y) = \frac{\tg x + \tg y}{1 - \tg x \tg y}$.

Перепишем систему в новых переменных: $$ \begin{cases} \frac{u+v}{1-uv} = -3, \\ 2u - v = 0. \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $v$ через $u$: $v = 2u$.

Подставим это выражение в первое уравнение системы: $$ \frac{u+2u}{1-u(2u)} = -3 $$ $$ \frac{3u}{1-2u^2} = -3 $$

При условии, что знаменатель $1-2u^2 \ne 0$, разделим обе части на 3: $$ \frac{u}{1-2u^2} = -1 $$ Умножим обе части на знаменатель: $$ u = -(1-2u^2) $$ $$ u = -1 + 2u^2 $$ Получаем квадратное уравнение: $$ 2u^2 - u - 1 = 0 $$

Решим это уравнение. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$. $$ u_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1+3}{4} = 1 $$ $$ u_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1-3}{4} = -\frac{1}{2} $$ Оба найденных значения $u$ удовлетворяют условию $1-2u^2 \ne 0$.

Теперь найдем соответствующие значения $v$, а затем и решения для $x$ и $y$.

Случай 1: $u = 1$.
Тогда $v = 2u = 2(1) = 2$.
Возвращаемся к исходным переменным: $\tg x = 1$ и $\tg y = 2$.
Отсюда: $x = \arctg(1) + \pi k = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$y = \arctg(2) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $u = -\frac{1}{2}$.
Тогда $v = 2u = 2(-\frac{1}{2}) = -1$.
Возвращаемся к исходным переменным: $\tg x = -\frac{1}{2}$ и $\tg y = -1$.
Отсюда: $x = \arctg(-\frac{1}{2}) + \pi k = -\arctg(\frac{1}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$y = \arctg(-1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(\frac{\pi}{4} + \pi k, \arctg(2) + \pi n)$; $(-\arctg(\frac{1}{2}) + \pi k, -\frac{\pi}{4} + \pi n)$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \tg(x - y) = -\frac{1}{2}, \\ 2\tg x + \tg y = 5. \end{cases} $$

Введем замены $u = \tg x$ и $v = \tg y$. Используем формулу тангенса разности: $\tg(x-y) = \frac{\tg x - \tg y}{1 + \tg x \tg y}$.

Система в новых переменных примет вид: $$ \begin{cases} \frac{u-v}{1+uv} = -\frac{1}{2}, \\ 2u + v = 5. \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $v$: $v = 5 - 2u$.

Подставим $v$ в первое уравнение: $$ \frac{u-(5-2u)}{1+u(5-2u)} = -\frac{1}{2} $$ $$ \frac{3u-5}{1+5u-2u^2} = -\frac{1}{2} $$

При условии, что знаменатель $1+5u-2u^2 \ne 0$, применим основное свойство пропорции: $$ 2(3u-5) = -(1+5u-2u^2) $$ $$ 6u-10 = -1-5u+2u^2 $$ Перенесем все члены в правую часть и получим квадратное уравнение: $$ 2u^2 - 11u + 9 = 0 $$

Решим уравнение. Дискриминант $D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 121 - 72 = 49 = 7^2$. $$ u_1 = \frac{11 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} $$ $$ u_2 = \frac{11 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 $$ Оба корня удовлетворяют условию $1+5u-2u^2 \ne 0$.

Найдем соответствующие значения $v$ и решения для $x$ и $y$.

Случай 1: $u = \frac{9}{2}$.
Тогда $v = 5 - 2u = 5 - 2(\frac{9}{2}) = 5 - 9 = -4$.
Получаем: $\tg x = \frac{9}{2}$ и $\tg y = -4$.
Отсюда: $x = \arctg(\frac{9}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$y = \arctg(-4) + \pi n = -\arctg(4) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $u = 1$.
Тогда $v = 5 - 2u = 5 - 2(1) = 3$.
Получаем: $\tg x = 1$ и $\tg y = 3$.
Отсюда: $x = \arctg(1) + \pi k = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$y = \arctg(3) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(\arctg(\frac{9}{2}) + \pi k, -\arctg(4) + \pi n)$; $(\frac{\pi}{4} + \pi k, \arctg(3) + \pi n)$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.