Номер 25.19, страница 159, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

25.19. Решите неравенство:

a) $\frac{\operatorname{tg} \frac{\pi}{5} + \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg} \frac{\pi}{5} \operatorname{tg} x} < 1;$

б) $\frac{\operatorname{tg} 3x - 1}{\operatorname{tg} 3x + 1} > 1.$

а) Исходное неравенство:

$$ \frac{\tg\frac{\pi}{5} + \tg x}{1 - \tg\frac{\pi}{5}\tg x} < 1 $$

Левая часть неравенства представляет собой формулу тангенса суммы углов:

$$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta} $$

Применив эту формулу, где $\alpha = \frac{\pi}{5}$ и $\beta = x$, мы можем упростить неравенство. Преобразование является эквивалентным, если определена левая часть, то есть при выполнении условий:

$$ \begin{cases} x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \\ 1 - \tg\frac{\pi}{5}\tg x \neq 0 \implies x \neq \frac{3\pi}{10} + \pi m, m \in \mathbb{Z} \end{cases} $$

Упрощенное неравенство имеет вид:

$$ \tg\left(x + \frac{\pi}{5}\right) < 1 $$

Пусть $t = x + \frac{\pi}{5}$. Неравенство принимает вид $\tg t < 1$.

Общее решение такого неравенства:

$$ -\frac{\pi}{2} + \pi n < t < \arctan(1) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$

$$ -\frac{\pi}{2} + \pi n < t < \frac{\pi}{4} + \pi n $$

Сделаем обратную замену $t = x + \frac{\pi}{5}$:

$$ -\frac{\pi}{2} + \pi n < x + \frac{\pi}{5} < \frac{\pi}{4} + \pi n $$

Вычтем $\frac{\pi}{5}$ из всех частей неравенства:

$$ -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5} + \pi n < x < \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{5} + \pi n $$

$$ -\frac{5\pi+2\pi}{10} + \pi n < x < \frac{5\pi-4\pi}{20} + \pi n $$

$$ -\frac{7\pi}{10} + \pi n < x < \frac{\pi}{20} + \pi n $$

Теперь необходимо учесть область допустимых значений. Условие $x \neq \frac{3\pi}{10} + \pi m$ выполняется, так как $\frac{\pi}{20} < \frac{3\pi}{10}$.

Проверим условие $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$. Для этого найдем, при каких целых $n$ и $k$ точка вида $\frac{\pi}{2} + \pi k$ может попасть в полученные интервалы решения.

$$ -\frac{7\pi}{10} + \pi n < \frac{\pi}{2} + \pi k < \frac{\pi}{20} + \pi n $$

Разделив на $\pi$ и вычтя $n$, получим:

$$ -\frac{7}{10} < \frac{1}{2} + k - n < \frac{1}{20} $$

Пусть $N = k - n$ (целое число):

$$ -0.7 < 0.5 + N < 0.05 \implies -1.2 < N < -0.45 $$

Единственное целое число в этом диапазоне — $N=-1$. Это означает, что точки вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi(n-1) = -\frac{\pi}{2} + \pi n$ попадают в наши интервалы и должны быть исключены.

Таким образом, каждый интервал $(-\frac{7\pi}{10} + \pi n, \frac{\pi}{20} + \pi n)$ нужно "проколоть" в точке $x = -\frac{\pi}{2} + \pi n$.

Ответ: $x \in \left(-\frac{7\pi}{10} + \pi n; -\frac{\pi}{2} + \pi n\right) \cup \left(-\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{20} + \pi n\right), n \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное неравенство:

$$ \frac{\tg 3x - 1}{\tg 3x + 1} > 1 $$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями существования тангенса и неравенства нулю знаменателя:

$$ \begin{cases} \cos 3x \neq 0 \\ \tg 3x + 1 \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \\ \tg 3x \neq -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3} \\ x \neq -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi m}{3}, m \in \mathbb{Z} \end{cases} $$

Введем замену $y = \tg 3x$. Неравенство принимает вид:

$$ \frac{y - 1}{y + 1} > 1 $$

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$$ \frac{y - 1}{y + 1} - 1 > 0 $$

$$ \frac{(y - 1) - (y + 1)}{y + 1} > 0 $$

$$ \frac{-2}{y + 1} > 0 $$

Числитель дроби отрицателен ($-2 < 0$), следовательно, для выполнения неравенства знаменатель также должен быть отрицательным:

$$ y + 1 < 0 \implies y < -1 $$

Произведем обратную замену $y = \tg 3x$:

$$ \tg 3x < -1 $$

Решим это простейшее тригонометрическое неравенство. Пусть $u = 3x$.

$$ \tg u < -1 $$

Общее решение этого неравенства:

$$ -\frac{\pi}{2} + \pi n < u < \arctan(-1) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$

$$ -\frac{\pi}{2} + \pi n < u < -\frac{\pi}{4} + \pi n $$

Сделаем обратную замену $u = 3x$:

$$ -\frac{\pi}{2} + \pi n < 3x < -\frac{\pi}{4} + \pi n $$

Разделим все части неравенства на 3, чтобы найти $x$:

$$ -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3} < x < -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3} $$

Полученные интервалы не включают граничные точки, которые соответствуют ОДЗ ($x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$ и $x \neq -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$), поэтому это и есть окончательное решение.

Ответ: $x \in \left(-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}; -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}\right), n \in \mathbb{Z}$.