Номер 26.2, страница 160, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

26.2. a) $\sin(\pi - t)$;

б) $\cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right)$;

B) $\cos(2\pi + t)$;

Г) $\sin\left(\frac{3\pi}{2} - t\right)$.

а) Для упрощения выражения $\sin(\pi - t)$ используются формулы приведения. Для их применения существует мнемоническое правило.

1. Определение знака. Если считать, что $t$ — это острый угол (угол первой четверти), то угол $(\pi - t)$ находится во второй четверти. В этой четверти синус положителен. Следовательно, итоговое выражение будет иметь знак «+».

2. Определение функции. Если в исходной формуле угол имеет вид $(\pi \pm t)$ или $(2\pi \pm t)$, то название тригонометрической функции не меняется. В данном случае у нас $\pi$, поэтому функция «синус» сохраняется.

Объединяя эти два пункта, получаем: $\sin(\pi - t) = \sin(t)$.

Также можно применить формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$:

$\sin(\pi - t) = \sin(\pi)\cos(t) - \cos(\pi)\sin(t) = 0 \cdot \cos(t) - (-1) \cdot \sin(t) = \sin(t)$.

Ответ: $\sin(t)$

б) Упростим выражение $\cos(\frac{\pi}{2} + t)$ с помощью формул приведения.

1. Определение знака. Если $t$ — угол первой четверти, то угол $(\frac{\pi}{2} + t)$ находится во второй четверти. Косинус во второй четверти отрицателен. Значит, у результата будет знак «-».

2. Определение функции. Если в исходной формуле угол имеет вид $(\frac{\pi}{2} \pm t)$ или $(\frac{3\pi}{2} \pm t)$, то название функции меняется на кофункцию (синус на косинус, косинус на синус). В данном случае у нас $\frac{\pi}{2}$, поэтому функция «косинус» меняется на «синус».

Следовательно: $\cos(\frac{\pi}{2} + t) = -\sin(t)$.

Проверка по формуле косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$:

$\cos(\frac{\pi}{2} + t) = \cos(\frac{\pi}{2})\cos(t) - \sin(\frac{\pi}{2})\sin(t) = 0 \cdot \cos(t) - 1 \cdot \sin(t) = -\sin(t)$.

Ответ: $-\sin(t)$

в) Упростим выражение $\cos(2\pi + t)$.

Здесь можно воспользоваться свойством периодичности функции косинус. Период косинуса равен $2\pi$, это значит, что $\cos(x + 2\pi k) = \cos(x)$ для любого целого числа $k$. В нашем случае $k=1$.

Поэтому: $\cos(2\pi + t) = \cos(t)$.

Если использовать общее правило формул приведения:

1. Определение знака. Угол $(2\pi + t)$ соответствует тому же положению на тригонометрической окружности, что и угол $t$. Значит, знак функции не изменится.

2. Определение функции. Так как в формуле присутствует $2\pi$, название функции «косинус» не меняется.

Результат тот же: $\cos(2\pi + t) = \cos(t)$.

Ответ: $\cos(t)$

г) Упростим выражение $\sin(\frac{3\pi}{2} - t)$ с помощью формул приведения.

1. Определение знака. Если $t$ — угол первой четверти, то угол $(\frac{3\pi}{2} - t)$ находится в третьей четверти. Синус в третьей четверти отрицателен. Следовательно, результат будет со знаком «-».

2. Определение функции. Так как в формуле присутствует $\frac{3\pi}{2}$, название функции «синус» меняется на кофункцию «косинус».

Объединяя пункты, получаем: $\sin(\frac{3\pi}{2} - t) = -\cos(t)$.

Проверка по формуле синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$:

$\sin(\frac{3\pi}{2} - t) = \sin(\frac{3\pi}{2})\cos(t) - \cos(\frac{3\pi}{2})\sin(t) = (-1) \cdot \cos(t) - 0 \cdot \sin(t) = -\cos(t)$.

Ответ: $-\cos(t)$