Номер 25.21, страница 159, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

25.21. Вычислите $\beta$, если известно, что $\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = -3$, $\operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \frac{1}{3}$ и $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой тангенса разности. Мы можем выразить угол $2\beta$ через известные нам углы $(\alpha + \beta)$ и $(\alpha - \beta)$ следующим образом:$2\beta = (\alpha + \beta) - (\alpha - \beta)$

Теперь применим формулу тангенса разности $\tg(x - y) = \frac{\tg(x) - \tg(y)}{1 + \tg(x)\tg(y)}$ для угла $2\beta$:$\tg(2\beta) = \tg((\alpha + \beta) - (\alpha - \beta)) = \frac{\tg(\alpha + \beta) - \tg(\alpha - \beta)}{1 + \tg(\alpha + \beta) \cdot \tg(\alpha - \beta)}$

Подставим в формулу данные из условия задачи: $\tg(\alpha + \beta) = -3$ и $\tg(\alpha - \beta) = \frac{1}{3}$.$\tg(2\beta) = \frac{-3 - \frac{1}{3}}{1 + (-3) \cdot \frac{1}{3}} = \frac{-\frac{9}{3} - \frac{1}{3}}{1 - 1} = \frac{-\frac{10}{3}}{0}$

Полученное выражение в знаменателе равно нулю, что означает, что тангенс угла $2\beta$ не определен. Тангенс угла не определен, если сам угол равен $\frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).Таким образом, $2\beta = \frac{\pi}{2} + n\pi$.

Чтобы найти конкретное значение $\beta$, воспользуемся дополнительным условием: $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$.Умножим все части этого неравенства на 2, чтобы получить интервал для $2\beta$:$2 \cdot \frac{\pi}{2} < 2\beta < 2 \cdot \pi$$\pi < 2\beta < 2\pi$

Теперь найдем такое целое значение $n$, при котором $2\beta = \frac{\pi}{2} + n\pi$ будет находиться в интервале $(\pi, 2\pi)$.

• Если $n = 0$, то $2\beta = \frac{\pi}{2}$. Это значение не входит в интервал $(\pi, 2\pi)$.
• Если $n = 1$, то $2\beta = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$. Это значение удовлетворяет условию $\pi < \frac{3\pi}{2} < 2\pi$.
• Если $n = 2$, то $2\beta = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}$. Это значение не входит в интервал $(\pi, 2\pi)$.

Единственное подходящее значение — $2\beta = \frac{3\pi}{2}$.

Наконец, найдем $\beta$:$2\beta = \frac{3\pi}{2}$$\beta = \frac{3\pi}{4}$Это значение удовлетворяет исходному условию $\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{4} < \pi$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}$