Номер 25.15, страница 159, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

25.15. Известно, что $\cos \alpha = \frac{3}{5}, 0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Вычислите:

а) $\text{tg} \left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right)$;

б) $\text{tg} \left(\alpha - \frac{5\pi}{4}\right)$.

По условию задачи известно, что $ \cos \alpha = \frac{3}{5} $ и угол $ \alpha $ находится в первой четверти ($ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $). Для вычисления тангенсов нам понадобится значение $ \text{tg} \, \alpha $.

Сначала найдем $ \sin \alpha $ с помощью основного тригонометрического тождества $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.

$ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} $.

Так как $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $, значение синуса будет положительным: $ \sin \alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} $.

Теперь можем найти тангенс угла $ \alpha $:

$ \text{tg} \, \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3} $.

а) Вычислим $ \text{tg}\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) $.

Используем формулу тангенса суммы: $ \text{tg}(x+y) = \frac{\text{tg} \, x + \text{tg} \, y}{1 - \text{tg} \, x \cdot \text{tg} \, y} $.

В нашем случае $ x = \alpha $ и $ y = \frac{\pi}{3} $. Нам известно, что $ \text{tg} \, \alpha = \frac{4}{3} $ и $ \text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} $.

Подставляем значения в формулу:

$ \text{tg}\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\text{tg} \, \alpha + \text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right)}{1 - \text{tg} \, \alpha \cdot \text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right)} = \frac{\frac{4}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{4}{3} \cdot \sqrt{3}} $.

Упростим полученное выражение:

$ \frac{\frac{4 + 3\sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - 4\sqrt{3}}{3}} = \frac{4 + 3\sqrt{3}}{3 - 4\sqrt{3}} $.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ (3 + 4\sqrt{3}) $:

$ \frac{(4 + 3\sqrt{3})(3 + 4\sqrt{3})}{(3 - 4\sqrt{3})(3 + 4\sqrt{3})} = \frac{12 + 16\sqrt{3} + 9\sqrt{3} + 3\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3}}{3^2 - (4\sqrt{3})^2} = \frac{12 + 25\sqrt{3} + 36}{9 - 16 \cdot 3} = \frac{48 + 25\sqrt{3}}{9 - 48} = \frac{48 + 25\sqrt{3}}{-39} = -\frac{48 + 25\sqrt{3}}{39} $.

Ответ: $ -\frac{48 + 25\sqrt{3}}{39} $.

б) Вычислим $ \text{tg}\left(\alpha - \frac{5\pi}{4}\right) $.

Используем формулу тангенса разности: $ \text{tg}(x-y) = \frac{\text{tg} \, x - \text{tg} \, y}{1 + \text{tg} \, x \cdot \text{tg} \, y} $.

В нашем случае $ x = \alpha $ и $ y = \frac{5\pi}{4} $. Нам известно, что $ \text{tg} \, \alpha = \frac{4}{3} $.

Найдем значение $ \text{tg}\left(\frac{5\pi}{4}\right) $: $ \text{tg}\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \text{tg}\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $.

Подставляем значения в формулу:

$ \text{tg}\left(\alpha - \frac{5\pi}{4}\right) = \frac{\text{tg} \, \alpha - \text{tg}\left(\frac{5\pi}{4}\right)}{1 + \text{tg} \, \alpha \cdot \text{tg}\left(\frac{5\pi}{4}\right)} = \frac{\frac{4}{3} - 1}{1 + \frac{4}{3} \cdot 1} $.

Упростим выражение:

$ \frac{\frac{4}{3} - \frac{3}{3}}{1 + \frac{4}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3}{3} + \frac{4}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{7}{3}} = \frac{1}{7} $.

Ответ: $ \frac{1}{7} $.