Номер 25.12, страница 158, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

25.12. a) Вычислите $ \text{tg } \alpha $, если $ \text{tg} \left( \alpha - \frac{\pi}{4} \right) = 3 $;

б) вычислите $ \text{ctg } \alpha $, если $ \text{tg} \left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right) = 0,2 $.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой тангенса разности углов:

$\text{tg}(x - y) = \frac{\text{tg } x - \text{tg } y}{1 + \text{tg } x \cdot \text{tg } y}$

В данном случае $x = \alpha$ и $y = \frac{\pi}{4}$. Нам известно, что $\text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.

Подставим известные значения в формулу, используя условие $\text{tg}\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) = 3$:

$\frac{\text{tg } \alpha - \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right)}{1 + \text{tg } \alpha \cdot \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right)} = 3$

$\frac{\text{tg } \alpha - 1}{1 + \text{tg } \alpha \cdot 1} = 3$

Для удобства введем замену: пусть $t = \text{tg } \alpha$. Тогда уравнение примет вид:

$\frac{t - 1}{1 + t} = 3$

Теперь решим это уравнение относительно $t$. Умножим обе части на $(1 + t)$, при условии, что $1 + t \neq 0$:

$t - 1 = 3(1 + t)$

$t - 1 = 3 + 3t$

Перенесем слагаемые с $t$ в одну сторону, а числа — в другую:

$t - 3t = 3 + 1$

$-2t = 4$

$t = \frac{4}{-2} = -2$

Так как $t = \text{tg } \alpha$, то $\text{tg } \alpha = -2$.

Ответ: -2

Для решения этой задачи воспользуемся формулой тангенса суммы углов:

$\text{tg}(x + y) = \frac{\text{tg } x + \text{tg } y}{1 - \text{tg } x \cdot \text{tg } y}$

В данном случае $x = \alpha$ и $y = \frac{\pi}{4}$. Нам известно, что $\text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.

Подставим известные значения в формулу, используя условие $\text{tg}\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = 0,2$:

$\frac{\text{tg } \alpha + \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right)}{1 - \text{tg } \alpha \cdot \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right)} = 0,2$

$\frac{\text{tg } \alpha + 1}{1 - \text{tg } \alpha} = 0,2$

Представим десятичную дробь $0,2$ в виде обыкновенной: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$. Введем замену: пусть $t = \text{tg } \alpha$. Тогда уравнение примет вид:

$\frac{t + 1}{1 - t} = \frac{1}{5}$

Теперь решим это уравнение относительно $t$, используя свойство пропорции:

$5(t + 1) = 1(1 - t)$

$5t + 5 = 1 - t$

Перенесем слагаемые с $t$ в одну сторону, а числа — в другую:

$5t + t = 1 - 5$

$6t = -4$

$t = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$

Мы нашли, что $\text{tg } \alpha = -\frac{2}{3}$.

По заданию требуется найти $\text{ctg } \alpha$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и котангенс: $\text{ctg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha}$.

$\text{ctg } \alpha = \frac{1}{-\frac{2}{3}} = -\frac{3}{2} = -1,5$

Ответ: -1,5