Страница 158, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Докажите тождество:

25.5. a) $\frac{1 - \operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{tg} \alpha} = \operatorname{tg} (45^\circ - \alpha);$

б) $\operatorname{tg} \left(\frac{3\pi}{4} - x\right) + \operatorname{tg} x = \operatorname{tg} \left(\frac{3\pi}{4} - x\right) \operatorname{tg} x - 1;$

в) $\frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg} (\alpha + \beta)} + \frac{\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg} (\alpha - \beta)} = 2;$

г) $\operatorname{tg} \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) - \operatorname{tg} \alpha = 1 + \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) \operatorname{tg} \alpha.$

а)

Для доказательства тождества преобразуем его правую часть, используя формулу тангенса разности $\tg(A - B) = \frac{\tg A - \tg B}{1 + \tg A \tg B}$.

$\tg(45^\circ - \alpha) = \frac{\tg 45^\circ - \tg \alpha}{1 + \tg 45^\circ \tg \alpha}$

Зная, что $\tg 45^\circ = 1$, подставим это значение в формулу:

$\frac{1 - \tg \alpha}{1 + 1 \cdot \tg \alpha} = \frac{1 - \tg \alpha}{1 + \tg \alpha}$

Правая часть тождества оказалась равна левой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Для доказательства воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов: $\tg(A+B) = \frac{\tg A + \tg B}{1 - \tg A \tg B}$.

Обозначим $A = \frac{3\pi}{4} - x$ и $B = x$.

Найдем сумму этих углов: $A+B = \left(\frac{3\pi}{4} - x\right) + x = \frac{3\pi}{4}$.

Тангенс этой суммы равен: $\tg(A+B) = \tg\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \tg\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\tg\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1$.

Теперь подставим $\tg(A+B) = -1$ в формулу тангенса суммы:

$\frac{\tg A + \tg B}{1 - \tg A \tg B} = -1$

Умножим обе части на знаменатель $(1 - \tg A \tg B)$, предполагая, что он не равен нулю (что является условием существования тангенса суммы):

$\tg A + \tg B = -1 \cdot (1 - \tg A \tg B)$

$\tg A + \tg B = -1 + \tg A \tg B$

Переставив слагаемые, получим: $\tg A + \tg B = \tg A \tg B - 1$.

Подставим обратно значения $A$ и $B$:

$\tg\left(\frac{3\pi}{4} - x\right) + \tg x = \tg\left(\frac{3\pi}{4} - x\right) \tg x - 1$

Полученное выражение совпадает с исходным тождеством. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

в)

Преобразуем левую часть тождества, используя формулы тангенса суммы и разности:

$\tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta}$

$\tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1 + \tg \alpha \tg \beta}$

Рассмотрим первое слагаемое левой части:

$\frac{\tg \alpha + \tg \beta}{\tg(\alpha + \beta)} = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{\frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta}}$

При условии, что $\tg(\alpha + \beta) \neq 0$ (что также означает $\tg \alpha + \tg \beta \neq 0$), это выражение упрощается до:

$1 - \tg \alpha \tg \beta$

Рассмотрим второе слагаемое левой части:

$\frac{\tg \alpha - \tg \beta}{\tg(\alpha - \beta)} = \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{\frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1 + \tg \alpha \tg \beta}}$

При условии, что $\tg(\alpha - \beta) \neq 0$ (что также означает $\tg \alpha - \tg \beta \neq 0$), это выражение упрощается до:

$1 + \tg \alpha \tg \beta$

Теперь сложим полученные выражения:

$(1 - \tg \alpha \tg \beta) + (1 + \tg \alpha \tg \beta) = 1 - \tg \alpha \tg \beta + 1 + \tg \alpha \tg \beta = 2$

Левая часть тождества равна 2, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

г)

Для доказательства тождества выполним равносильные преобразования. Перенесем слагаемые таким образом, чтобы сгруппировать выражения с $\tg\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)$.

Исходное тождество: $\tg\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) - \tg \alpha = 1 + \tg\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) \tg \alpha$.

Перенесем слагаемое $\tg\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) \tg \alpha$ влево, а $-\tg\alpha$ вправо:

$\tg\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) - \tg\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) \tg \alpha = 1 + \tg \alpha$

Вынесем общий множитель $\tg\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)$ за скобки в левой части:

$\tg\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) (1 - \tg \alpha) = 1 + \tg \alpha$

Разделим обе части на $(1 - \tg \alpha)$, при условии, что $1 - \tg \alpha \neq 0$. Это условие ($\alpha \neq \frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$) совпадает с областью определения исходного тождества, так как в противном случае $\tg(\alpha+\frac{\pi}{4})$ был бы не определен.

$\tg\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1 + \tg \alpha}{1 - \tg \alpha}$

Теперь докажем справедливость этого полученного равенства. Преобразуем его левую часть, используя формулу тангенса суммы:

$\tg\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tg \alpha + \tg \frac{\pi}{4}}{1 - \tg \alpha \tg \frac{\pi}{4}}$

Так как $\tg \frac{\pi}{4} = 1$, получаем:

$\frac{\tg \alpha + 1}{1 - \tg \alpha \cdot 1} = \frac{1 + \tg \alpha}{1 - \tg \alpha}$

Мы показали, что левая часть равна правой. Так как все преобразования были равносильными, исходное тождество верно.

Ответ: Тождество доказано.

25.6. a) $tg(\alpha + \beta) - (tg \alpha + tg \beta) = tg(\alpha + \beta) tg \alpha tg \beta;$

б) $tg(\alpha - \beta) - (tg \alpha - tg \beta) = tg(\beta - \alpha) tg \alpha tg \beta.$

а) Докажем тождество $tg(\alpha + \beta) - (tg\,\alpha + tg\,\beta) = tg(\alpha + \beta) tg\,\alpha tg\,\beta$.

Для доказательства преобразуем известную формулу тангенса суммы углов:

$tg(\alpha + \beta) = \frac{tg\,\alpha + tg\,\beta}{1 - tg\,\alpha tg\,\beta}$

При условии, что $1 - tg\,\alpha tg\,\beta \neq 0$, умножим обе части равенства на знаменатель:

$tg(\alpha + \beta) (1 - tg\,\alpha tg\,\beta) = tg\,\alpha + tg\,\beta$

Раскроем скобки в левой части:

$tg(\alpha + \beta) - tg(\alpha + \beta) tg\,\alpha tg\,\beta = tg\,\alpha + tg\,\beta$

Перегруппируем члены, чтобы получить вид, соответствующий доказываемому тождеству. Перенесем $(tg\,\alpha + tg\,\beta)$ влево, а $tg(\alpha + \beta) tg\,\alpha tg\,\beta$ вправо:

$tg(\alpha + \beta) - (tg\,\alpha + tg\,\beta) = tg(\alpha + \beta) tg\,\alpha tg\,\beta$

Таким образом, тождество доказано для всех значений $\alpha$ и $\beta$, при которых выражения имеют смысл.

Ответ: Тождество доказано.

б) Докажем тождество $tg(\alpha - \beta) - (tg\,\alpha - tg\,\beta) = tg(\beta - \alpha) tg\,\alpha tg\,\beta$.

Преобразуем левую часть тождества. Для этого воспользуемся формулой тангенса разности углов:

$tg(\alpha - \beta) = \frac{tg\,\alpha - tg\,\beta}{1 + tg\,\alpha tg\,\beta}$

Подставим это выражение для $tg(\alpha - \beta)$ в левую часть исходного равенства:

$\frac{tg\,\alpha - tg\,\beta}{1 + tg\,\alpha tg\,\beta} - (tg\,\alpha - tg\,\beta)$

Вынесем общий множитель $(tg\,\alpha - tg\,\beta)$ за скобки:

$(tg\,\alpha - tg\,\beta) \left( \frac{1}{1 + tg\,\alpha tg\,\beta} - 1 \right)$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$(tg\,\alpha - tg\,\beta) \left( \frac{1 - (1 + tg\,\alpha tg\,\beta)}{1 + tg\,\alpha tg\,\beta} \right) = (tg\,\alpha - tg\,\beta) \left( \frac{-\,tg\,\alpha tg\,\beta}{1 + tg\,\alpha tg\,\beta} \right)$

Сгруппируем множители следующим образом:

$-\left( \frac{tg\,\alpha - tg\,\beta}{1 + tg\,\alpha tg\,\beta} \right) \cdot (tg\,\alpha tg\,\beta) = -tg(\alpha - \beta) tg\,\alpha tg\,\beta$

Теперь рассмотрим правую часть исходного тождества: $tg(\beta - \alpha) tg\,\alpha tg\,\beta$.

Используем свойство нечетности функции тангенса: $tg(-x) = -tg(x)$.

$tg(\beta - \alpha) = tg(-(\alpha - \beta)) = -tg(\alpha - \beta)$

Следовательно, правая часть равна $-tg(\alpha - \beta) tg\,\alpha tg\,\beta$.

Поскольку левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

25.7. a) $\frac{\text{tg}^2 2x - \text{tg}^2 x}{1 - \text{tg}^2 2x \text{tg}^2 x} = \text{tg} 3x \text{tg} x;$

б) $\frac{\text{tg}^2 30^\circ - \text{tg}^2 15^\circ}{1 - \text{tg}^2 30^\circ \text{tg}^2 15^\circ} = \text{tg} 15^\circ.$

а)

Требуется доказать тождество: $\frac{\tg^2 2x - \tg^2 x}{1 - \tg^2 2x \tg^2 x} = \tg 3x \tg x$.

Преобразуем левую часть равенства (ЛЧ). Для числителя и знаменателя применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

ЛЧ = $\frac{(\tg 2x - \tg x)(\tg 2x + \tg x)}{(1 - \tg 2x \tg x)(1 + \tg 2x \tg x)}$

Перегруппируем множители в виде двух отдельных дробей:

ЛЧ = $\left(\frac{\tg 2x + \tg x}{1 - \tg 2x \tg x}\right) \cdot \left(\frac{\tg 2x - \tg x}{1 + \tg 2x \tg x}\right)$

Используем формулы тангенса суммы и тангенса разности двух углов:

$\tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta}$

$\tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1 + \tg \alpha \tg \beta}$

Применив эти формулы для $\alpha = 2x$ и $\beta = x$, получаем:

Первый множитель: $\frac{\tg 2x + \tg x}{1 - \tg 2x \tg x} = \tg(2x + x) = \tg(3x)$.

Второй множитель: $\frac{\tg 2x - \tg x}{1 + \tg 2x \tg x} = \tg(2x - x) = \tg(x)$.

Следовательно, левая часть исходного равенства равна произведению этих двух выражений:

ЛЧ = $\tg(3x) \tg(x)$.

Мы получили выражение, стоящее в правой части равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Требуется доказать равенство: $\frac{\tg^2 30^\circ - \tg^2 15^\circ}{1 - \tg^2 30^\circ \tg^2 15^\circ} = \tg 15^\circ$.

Преобразуем левую часть равенства (ЛЧ). Ее структура аналогична выражению из пункта а). Воспользуемся общим результатом, полученным в ходе доказательства в предыдущем пункте:

$\frac{\tg^2 \alpha - \tg^2 \beta}{1 - \tg^2 \alpha \tg^2 \beta} = \tg(\alpha + \beta) \tg(\alpha - \beta)$.

Подставим в эту формулу значения $\alpha = 30^\circ$ и $\beta = 15^\circ$:

ЛЧ = $\tg(30^\circ + 15^\circ) \tg(30^\circ - 15^\circ)$.

Вычислим значения в скобках:

ЛЧ = $\tg(45^\circ) \tg(15^\circ)$.

Значение тангенса $45^\circ$ является табличным и равно 1:

$\tg(45^\circ) = 1$.

Подставляя это значение, получаем:

ЛЧ = $1 \cdot \tg(15^\circ) = \tg(15^\circ)$.

Таким образом, левая часть равна правой части, и равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

25.8. Представив $2x$ в виде $x + x$, докажите тождество

$\text{tg } 2x = \frac{2 \text{ tg } x}{1 - \text{tg}^2 x}$

Чтобы доказать тождество, представим аргемент тангенса $2x$ в виде суммы $x+x$, как предложено в условии задачи, и воспользуемся формулой тангенса суммы.

1. Начнем с левой части равенства и представим $2x$ как $x+x$:
$\operatorname{tg} 2x = \operatorname{tg}(x+x)$

2. Воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов $\alpha$ и $\beta$:
$\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}$

3. Применим эту формулу к нашему выражению, положив $\alpha = x$ и $\beta = x$:
$\operatorname{tg}(x+x) = \frac{\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{tg} x}$

4. Упростим полученное выражение, выполнив сложение в числителе и умножение в знаменателе:
$\frac{\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{tg} x} = \frac{2\operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg}^2 x}$

Таким образом, мы преобразовали левую часть тождества и получили выражение, в точности совпадающее с правой частью.
$\operatorname{tg} 2x = \frac{2\operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg}^2 x}$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

25.9. Докажите, что значение выражения $\frac{\operatorname{tg}(\alpha-\beta)-\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg}(\alpha-\beta) \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}$ не зависит от значения $\beta$.

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от $\beta$, мы упростим его. Рассмотрим данное выражение:

$$ \frac{\tg(\alpha - \beta) - \tg\alpha + \tg\beta}{\tg(\alpha - \beta)\tg\alpha\tg\beta} $$

Для упрощения воспользуемся формулой тангенса разности двух углов:

$$ \tg(x - y) = \frac{\tg x - \tg y}{1 + \tg x \tg y} $$

Применим эту формулу для $\tg(\alpha - \beta)$:

$$ \tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{1 + \tg\alpha\tg\beta} $$

Умножим обе части равенства на знаменатель $(1 + \tg\alpha\tg\beta)$, предполагая, что выражение определено:

$$ \tg(\alpha - \beta)(1 + \tg\alpha\tg\beta) = \tg\alpha - \tg\beta $$

Раскроем скобки в левой части:

$$ \tg(\alpha - \beta) + \tg(\alpha - \beta)\tg\alpha\tg\beta = \tg\alpha - \tg\beta $$

Теперь преобразуем это равенство, чтобы выразить числитель исходной дроби. Перенесем $\tg\alpha$ и $\tg\beta$ из правой части в левую:

$$ \tg(\alpha - \beta) - \tg\alpha + \tg\beta = - \tg(\alpha - \beta)\tg\alpha\tg\beta $$

Мы получили тождество, левая часть которого совпадает с числителем исходного выражения. Подставим правую часть этого тождества в числитель исходной дроби:

$$ \frac{\tg(\alpha - \beta) - \tg\alpha + \tg\beta}{\tg(\alpha - \beta)\tg\alpha\tg\beta} = \frac{- \tg(\alpha - \beta)\tg\alpha\tg\beta}{\tg(\alpha - \beta)\tg\alpha\tg\beta} $$

При условии, что знаменатель не равен нулю (то есть, $\tg(\alpha - \beta) \neq 0$, $\tg\alpha \neq 0$ и $\tg\beta \neq 0$), мы можем сократить дробь:

$$ \frac{- \tg(\alpha - \beta)\tg\alpha\tg\beta}{\tg(\alpha - \beta)\tg\alpha\tg\beta} = -1 $$

Полученное значение равно -1. Это константа, которая не зависит от значения $\beta$. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Значение выражения тождественно равно -1 для всех допустимых значений $\alpha$ и $\beta$, следовательно, оно не зависит от значения $\beta$.

25.10. Вычислите:

а) $\text{tg}\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$, если $\text{tg}\, \alpha = \frac{2}{3}$;

б) $\text{tg}\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right)$, если $\text{tg}\, \alpha = \frac{4}{5}$.

а) Для вычисления значения $tg(\frac{\pi}{4} - \alpha)$ воспользуемся формулой тангенса разности:

$tg(x - y) = \frac{tg(x) - tg(y)}{1 + tg(x) \cdot tg(y)}$

В нашем случае $x = \frac{\pi}{4}$ и $y = \alpha$. Подставим эти значения в формулу:

$tg(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{tg(\frac{\pi}{4}) - tg(\alpha)}{1 + tg(\frac{\pi}{4}) \cdot tg(\alpha)}$

Известно, что $tg(\frac{\pi}{4}) = 1$. По условию задачи $tg(\alpha) = \frac{2}{3}$. Подставим эти значения в выражение:

$tg(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{1 - \frac{2}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{2}{3}} = \frac{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{3}}$

Упростим полученную дробь:

$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$

б) Для вычисления значения $tg(\alpha + \frac{\pi}{3})$ воспользуемся формулой тангенса суммы:

$tg(x + y) = \frac{tg(x) + tg(y)}{1 - tg(x) \cdot tg(y)}$

В нашем случае $x = \alpha$ и $y = \frac{\pi}{3}$. Подставим эти значения в формулу:

$tg(\alpha + \frac{\pi}{3}) = \frac{tg(\alpha) + tg(\frac{\pi}{3})}{1 - tg(\alpha) \cdot tg(\frac{\pi}{3})}$

Известно, что $tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$. По условию задачи $tg(\alpha) = \frac{4}{5}$. Подставим эти значения в выражение:

$tg(\alpha + \frac{\pi}{3}) = \frac{\frac{4}{5} + \sqrt{3}}{1 - \frac{4}{5} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\frac{4 + 5\sqrt{3}}{5}}{\frac{5 - 4\sqrt{3}}{5}}$

Упростим полученную дробь, разделив числитель на знаменатель:

$\frac{4 + 5\sqrt{3}}{5 - 4\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение, то есть на $(5 + 4\sqrt{3})$:

$\frac{(4 + 5\sqrt{3})(5 + 4\sqrt{3})}{(5 - 4\sqrt{3})(5 + 4\sqrt{3})} = \frac{4 \cdot 5 + 4 \cdot 4\sqrt{3} + 5\sqrt{3} \cdot 5 + 5\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3}}{5^2 - (4\sqrt{3})^2} = \frac{20 + 16\sqrt{3} + 25\sqrt{3} + 20 \cdot 3}{25 - 16 \cdot 3} = \frac{20 + 41\sqrt{3} + 60}{25 - 48} = \frac{80 + 41\sqrt{3}}{-23}$

Вынесем знак минуса перед дробью:

$-\frac{80 + 41\sqrt{3}}{23}$

Ответ: $-\frac{80 + 41\sqrt{3}}{23}$

25.11. Известно, что $\operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{2}$, $\operatorname{tg} \beta = \frac{1}{3}$. Вычислите:

a) $\operatorname{tg}(\alpha + \beta)$;

б) $\operatorname{tg}(\alpha - \beta)$.

a) Для вычисления $tg(\alpha + \beta)$ воспользуемся формулой тангенса суммы:
$tg(\alpha + \beta) = \frac{tg \alpha + tg \beta}{1 - tg \alpha \cdot tg \beta}$
Подставим известные значения $tg \alpha = \frac{1}{2}$ и $tg \beta = \frac{1}{3}$:
$tg(\alpha + \beta) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{3+2}{6}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{6-1}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1$
Ответ: 1

б) Для вычисления $tg(\alpha - \beta)$ воспользуемся формулой тангенса разности:
$tg(\alpha - \beta) = \frac{tg \alpha - tg \beta}{1 + tg \alpha \cdot tg \beta}$
Подставим известные значения $tg \alpha = \frac{1}{2}$ и $tg \beta = \frac{1}{3}$:
$tg(\alpha - \beta) = \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{3-2}{6}}{1 + \frac{1}{6}} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{6+1}{6}} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{7}{6}} = \frac{1}{6} \cdot \frac{6}{7} = \frac{1}{7}$
Ответ: $\frac{1}{7}$

25.12. a) Вычислите $ \text{tg } \alpha $, если $ \text{tg} \left( \alpha - \frac{\pi}{4} \right) = 3 $;

б) вычислите $ \text{ctg } \alpha $, если $ \text{tg} \left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right) = 0,2 $.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой тангенса разности углов:

$\text{tg}(x - y) = \frac{\text{tg } x - \text{tg } y}{1 + \text{tg } x \cdot \text{tg } y}$

В данном случае $x = \alpha$ и $y = \frac{\pi}{4}$. Нам известно, что $\text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.

Подставим известные значения в формулу, используя условие $\text{tg}\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) = 3$:

$\frac{\text{tg } \alpha - \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right)}{1 + \text{tg } \alpha \cdot \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right)} = 3$

$\frac{\text{tg } \alpha - 1}{1 + \text{tg } \alpha \cdot 1} = 3$

Для удобства введем замену: пусть $t = \text{tg } \alpha$. Тогда уравнение примет вид:

$\frac{t - 1}{1 + t} = 3$

Теперь решим это уравнение относительно $t$. Умножим обе части на $(1 + t)$, при условии, что $1 + t \neq 0$:

$t - 1 = 3(1 + t)$

$t - 1 = 3 + 3t$

Перенесем слагаемые с $t$ в одну сторону, а числа — в другую:

$t - 3t = 3 + 1$

$-2t = 4$

$t = \frac{4}{-2} = -2$

Так как $t = \text{tg } \alpha$, то $\text{tg } \alpha = -2$.

Ответ: -2

Для решения этой задачи воспользуемся формулой тангенса суммы углов:

$\text{tg}(x + y) = \frac{\text{tg } x + \text{tg } y}{1 - \text{tg } x \cdot \text{tg } y}$

В данном случае $x = \alpha$ и $y = \frac{\pi}{4}$. Нам известно, что $\text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.

Подставим известные значения в формулу, используя условие $\text{tg}\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = 0,2$:

$\frac{\text{tg } \alpha + \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right)}{1 - \text{tg } \alpha \cdot \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right)} = 0,2$

$\frac{\text{tg } \alpha + 1}{1 - \text{tg } \alpha} = 0,2$

Представим десятичную дробь $0,2$ в виде обыкновенной: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$. Введем замену: пусть $t = \text{tg } \alpha$. Тогда уравнение примет вид:

$\frac{t + 1}{1 - t} = \frac{1}{5}$

Теперь решим это уравнение относительно $t$, используя свойство пропорции:

$5(t + 1) = 1(1 - t)$

$5t + 5 = 1 - t$

Перенесем слагаемые с $t$ в одну сторону, а числа — в другую:

$5t + t = 1 - 5$

$6t = -4$

$t = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$

Мы нашли, что $\text{tg } \alpha = -\frac{2}{3}$.

По заданию требуется найти $\text{ctg } \alpha$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и котангенс: $\text{ctg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha}$.

$\text{ctg } \alpha = \frac{1}{-\frac{2}{3}} = -\frac{3}{2} = -1,5$

Ответ: -1,5