Страница 152, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Вычислите:

24.15. a) $\sin 74^\circ \cos 16^\circ + \cos 74^\circ \sin 16^\circ;$

б) $\cos 23^\circ \cos 22^\circ - \sin 23^\circ \sin 22^\circ;$

в) $\sin 89^\circ \cos 1^\circ + \cos 89^\circ \sin 1^\circ;$

г) $\cos 178^\circ \cos 2^\circ - \sin 178^\circ \sin 2^\circ.$

а) Для вычисления значения выражения $ \sin 74^\circ \cos 16^\circ + \cos 74^\circ \sin 16^\circ $ применяется формула синуса суммы двух углов, которая имеет вид: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $. В данном выражении $ \alpha = 74^\circ $ и $ \beta = 16^\circ $. Применяя формулу, сворачиваем выражение: $ \sin 74^\circ \cos 16^\circ + \cos 74^\circ \sin 16^\circ = \sin(74^\circ + 16^\circ) = \sin(90^\circ) $. Значение синуса $ 90^\circ $ является табличным и равно 1.
Ответ: 1

б) Выражение $ \cos 23^\circ \cos 22^\circ - \sin 23^\circ \sin 22^\circ $ соответствует формуле косинуса суммы двух углов: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $. В этом случае $ \alpha = 23^\circ $ и $ \beta = 22^\circ $. Подставим эти значения в формулу: $ \cos 23^\circ \cos 22^\circ - \sin 23^\circ \sin 22^\circ = \cos(23^\circ + 22^\circ) = \cos(45^\circ) $. Табличное значение косинуса $ 45^\circ $ равно $ \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $

в) Выражение $ \sin 89^\circ \cos 1^\circ + \cos 89^\circ \sin 1^\circ $ также, как и в пункте 'а', вычисляется с помощью формулы синуса суммы: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $. Здесь $ \alpha = 89^\circ $ и $ \beta = 1^\circ $. $ \sin 89^\circ \cos 1^\circ + \cos 89^\circ \sin 1^\circ = \sin(89^\circ + 1^\circ) = \sin(90^\circ) $. Результат вычисления равен 1.
Ответ: 1

г) Выражение $ \cos 178^\circ \cos 2^\circ - \sin 178^\circ \sin 2^\circ $ вычисляется по формуле косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $. В данном случае $ \alpha = 178^\circ $ и $ \beta = 2^\circ $. $ \cos 178^\circ \cos 2^\circ - \sin 178^\circ \sin 2^\circ = \cos(178^\circ + 2^\circ) = \cos(180^\circ) $. Табличное значение косинуса $ 180^\circ $ равно -1.
Ответ: -1

24.16. a) $ \sin \frac{\pi}{5} \cos \frac{\pi}{20} + \cos \frac{\pi}{5} \sin \frac{\pi}{20} $;

б) $ \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{5\pi}{7} - \sin \frac{2\pi}{7} \sin \frac{5\pi}{7} $;

в) $ \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{11\pi}{12} + \cos \frac{\pi}{12} \sin \frac{11\pi}{12} $;

г) $ \cos \frac{2\pi}{15} \cos \frac{\pi}{5} - \sin \frac{2\pi}{15} \sin \frac{\pi}{5} $.

а) Данное выражение $\sin{\frac{\pi}{5}} \cos{\frac{\pi}{20}} + \cos{\frac{\pi}{5}} \sin{\frac{\pi}{20}}$ соответствует формуле синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$.
В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{5}$ и $\beta = \frac{\pi}{20}$.
Применяя формулу, получаем: $\sin(\frac{\pi}{5} + \frac{\pi}{20})$.
Сложим углы, приведя их к общему знаменателю 20: $\frac{\pi}{5} + \frac{\pi}{20} = \frac{4\pi}{20} + \frac{\pi}{20} = \frac{5\pi}{20} = \frac{\pi}{4}$.
Таким образом, необходимо вычислить $\sin(\frac{\pi}{4})$.
$\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) Выражение $\cos{\frac{2\pi}{7}} \cos{\frac{5\pi}{7}} - \sin{\frac{2\pi}{7}} \sin{\frac{5\pi}{7}}$ соответствует формуле косинуса суммы двух углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.
Здесь $\alpha = \frac{2\pi}{7}$ и $\beta = \frac{5\pi}{7}$.
Применяя формулу, получаем: $\cos(\frac{2\pi}{7} + \frac{5\pi}{7})$.
Сложим углы: $\frac{2\pi}{7} + \frac{5\pi}{7} = \frac{7\pi}{7} = \pi$.
Таким образом, необходимо вычислить $\cos(\pi)$.
$\cos(\pi) = -1$.
Ответ: -1.

в) Выражение $\sin{\frac{\pi}{12}} \cos{\frac{11\pi}{12}} + \cos{\frac{\pi}{12}} \sin{\frac{11\pi}{12}}$ также является формулой синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$.
Здесь $\alpha = \frac{\pi}{12}$ и $\beta = \frac{11\pi}{12}$.
Применяя формулу, получаем: $\sin(\frac{\pi}{12} + \frac{11\pi}{12})$.
Сложим углы: $\frac{\pi}{12} + \frac{11\pi}{12} = \frac{12\pi}{12} = \pi$.
Таким образом, необходимо вычислить $\sin(\pi)$.
$\sin(\pi) = 0$.
Ответ: 0.

г) Выражение $\cos{\frac{2\pi}{15}} \cos{\frac{\pi}{5}} - \sin{\frac{2\pi}{15}} \sin{\frac{\pi}{5}}$ является формулой косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.
Здесь $\alpha = \frac{2\pi}{15}$ и $\beta = \frac{\pi}{5}$.
Применяя формулу, получаем: $\cos(\frac{2\pi}{15} + \frac{\pi}{5})$.
Сложим углы, приведя их к общему знаменателю 15: $\frac{2\pi}{15} + \frac{\pi}{5} = \frac{2\pi}{15} + \frac{3\pi}{15} = \frac{5\pi}{15} = \frac{\pi}{3}$.
Таким образом, необходимо вычислить $\cos(\frac{\pi}{3})$.
$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

24.17. a) $\cos 107^\circ \cos 17^\circ + \sin 107^\circ \sin 17^\circ;$

б) $\cos 36^\circ \cos 24^\circ - \sin 36^\circ \sin 24^\circ;$

в) $\sin 63^\circ \cos 27^\circ + \cos 63^\circ \sin 27^\circ;$

г) $\sin 51^\circ \cos 21^\circ - \cos 51^\circ \sin 21^\circ.$

а) Для вычисления значения выражения $\cos 107^\circ \cos 17^\circ + \sin 107^\circ \sin 17^\circ$ воспользуемся формулой косинуса разности двух углов:
$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$
В нашем случае $\alpha = 107^\circ$ и $\beta = 17^\circ$. Подставим эти значения в формулу:
$\cos 107^\circ \cos 17^\circ + \sin 107^\circ \sin 17^\circ = \cos(107^\circ - 17^\circ) = \cos(90^\circ)$
Значение косинуса $90^\circ$ равно $0$.
Ответ: $0$

б) Для вычисления значения выражения $\cos 36^\circ \cos 24^\circ - \sin 36^\circ \sin 24^\circ$ воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов:
$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$
В данном случае $\alpha = 36^\circ$ и $\beta = 24^\circ$. Подставим эти значения в формулу:
$\cos 36^\circ \cos 24^\circ - \sin 36^\circ \sin 24^\circ = \cos(36^\circ + 24^\circ) = \cos(60^\circ)$
Значение косинуса $60^\circ$ равно $\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

в) Для вычисления значения выражения $\sin 63^\circ \cos 27^\circ + \cos 63^\circ \sin 27^\circ$ воспользуемся формулой синуса суммы двух углов:
$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$
В нашем случае $\alpha = 63^\circ$ и $\beta = 27^\circ$. Подставим эти значения в формулу:
$\sin 63^\circ \cos 27^\circ + \cos 63^\circ \sin 27^\circ = \sin(63^\circ + 27^\circ) = \sin(90^\circ)$
Значение синуса $90^\circ$ равно $1$.
Ответ: $1$

г) Для вычисления значения выражения $\sin 51^\circ \cos 21^\circ - \cos 51^\circ \sin 21^\circ$ воспользуемся формулой синуса разности двух углов:
$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$
В данном случае $\alpha = 51^\circ$ и $\beta = 21^\circ$. Подставим эти значения в формулу:
$\sin 51^\circ \cos 21^\circ - \cos 51^\circ \sin 21^\circ = \sin(51^\circ - 21^\circ) = \sin(30^\circ)$
Значение синуса $30^\circ$ равно $\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

24.18. a) $ \cos \frac{5\pi}{8} \cos \frac{3\pi}{8} + \sin \frac{5\pi}{8} \sin \frac{3\pi}{8}; $

б) $ \sin \frac{2\pi}{15} \cos \frac{\pi}{5} + \cos \frac{2\pi}{15} \sin \frac{\pi}{5}; $

в) $ \cos \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{12} \sin \frac{\pi}{4}; $

г) $ \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{4} - \cos \frac{\pi}{12} \sin \frac{\pi}{4}. $

а) Данное выражение имеет вид $\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$, что соответствует формуле косинуса разности двух углов: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$.
В нашем случае $\alpha = \frac{5\pi}{8}$ и $\beta = \frac{3\pi}{8}$.
Применим формулу:
$\cos\frac{5\pi}{8} \cos\frac{3\pi}{8} + \sin\frac{5\pi}{8} \sin\frac{3\pi}{8} = \cos(\frac{5\pi}{8} - \frac{3\pi}{8}) = \cos(\frac{2\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{4})$.
Значение косинуса для угла $\frac{\pi}{4}$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) Данное выражение имеет вид $\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$, что соответствует формуле синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$.
В нашем случае $\alpha = \frac{2\pi}{15}$ и $\beta = \frac{\pi}{5}$.
Применим формулу, предварительно приведя дроби к общему знаменателю:
$\sin\frac{2\pi}{15} \cos\frac{\pi}{5} + \cos\frac{2\pi}{15} \sin\frac{\pi}{5} = \sin(\frac{2\pi}{15} + \frac{\pi}{5}) = \sin(\frac{2\pi}{15} + \frac{3\pi}{15}) = \sin(\frac{5\pi}{15}) = \sin(\frac{\pi}{3})$.
Значение синуса для угла $\frac{\pi}{3}$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

в) Данное выражение имеет вид $\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$, что соответствует формуле косинуса суммы двух углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$.
В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{12}$ и $\beta = \frac{\pi}{4}$.
Применим формулу, предварительно приведя дроби к общему знаменателю:
$\cos\frac{\pi}{12} \cos\frac{\pi}{4} - \sin\frac{\pi}{12} \sin\frac{\pi}{4} = \cos(\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{12} + \frac{3\pi}{12}) = \cos(\frac{4\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{3})$.
Значение косинуса для угла $\frac{\pi}{3}$ является табличным и равно $\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

г) Данное выражение имеет вид $\sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$, что соответствует формуле синуса разности двух углов: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$.
В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{12}$ и $\beta = \frac{\pi}{4}$.
Применим формулу, предварительно приведя дроби к общему знаменателю:
$\sin\frac{\pi}{12} \cos\frac{\pi}{4} - \cos\frac{\pi}{12} \sin\frac{\pi}{4} = \sin(\frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{12} - \frac{3\pi}{12}) = \sin(-\frac{2\pi}{12}) = \sin(-\frac{\pi}{6})$.
Так как синус является нечетной функцией, $\sin(-x) = -\sin(x)$. Следовательно, $\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6})$.
Значение синуса для угла $\frac{\pi}{6}$ является табличным и равно $\frac{1}{2}$, поэтому результат равен $-\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

24.19. Докажите равенство:

а) $\sin 75^\circ \cos 75^\circ = \frac{1}{4};$

б) $\cos^2 75^\circ - \sin^2 75^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2};$

в) $\sin 105^\circ \cos 105^\circ = -\frac{1}{4};$

г) $\cos^2 75^\circ + \sin^2 75^\circ = 1.$

а)

Для доказательства этого равенства воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Из этой формулы следует, что $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.

Подставим в эту формулу значение $\alpha = 75^\circ$:

$\sin 75^\circ \cos 75^\circ = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 75^\circ) = \frac{1}{2}\sin(150^\circ)$.

Угол $150^\circ$ находится во второй четверти, где синус положителен. Используем формулу приведения: $\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ)$.

Значение $\sin(30^\circ)$ является табличным и равно $\frac{1}{2}$.

Таким образом, получаем:

$\frac{1}{2}\sin(150^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

Следовательно, $\sin 75^\circ \cos 75^\circ = \frac{1}{4}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

б)

Для доказательства этого равенства воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

Подставим в эту формулу значение $\alpha = 75^\circ$:

$\cos^2 75^\circ - \sin^2 75^\circ = \cos(2 \cdot 75^\circ) = \cos(150^\circ)$.

Угол $150^\circ$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Используем формулу приведения: $\cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ)$.

Значение $\cos(30^\circ)$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, получаем:

$\cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, $\cos^2 75^\circ - \sin^2 75^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

в)

Для доказательства этого равенства воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Из этой формулы следует, что $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.

Подставим в эту формулу значение $\alpha = 105^\circ$:

$\sin 105^\circ \cos 105^\circ = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 105^\circ) = \frac{1}{2}\sin(210^\circ)$.

Угол $210^\circ$ находится в третьей четверти, где синус отрицателен. Используем формулу приведения: $\sin(210^\circ) = \sin(180^\circ + 30^\circ) = -\sin(30^\circ)$.

Значение $\sin(30^\circ)$ является табличным и равно $\frac{1}{2}$.

Таким образом, получаем:

$\frac{1}{2}\sin(210^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{4}$.

Следовательно, $\sin 105^\circ \cos 105^\circ = -\frac{1}{4}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

г)

Данное равенство является основным тригонометрическим тождеством: $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$.

Это тождество справедливо для любого значения угла $\alpha$.

В данном случае $\alpha = 75^\circ$. Подставляя это значение в тождество, мы получаем:

$\cos^2 75^\circ + \sin^2 75^\circ = 1$.

Таким образом, равенство является верным по определению основного тригонометрического тождества.

Ответ: Равенство доказано.

24.20. Найдите значение выражения:

а) $((1 + \cos 44^\circ \cos 1^\circ - \sin 44^\circ \sin 1^\circ)^2 - 1.5)^2$

б) $((1 + \sin 57^\circ \cos 3^\circ + \cos 57^\circ \sin 3^\circ)^2 - 1.75)^2$

в) $((2 + \sin 41^\circ \cos 4^\circ + \cos 41^\circ \sin 4^\circ)^2 - 4.5)^2$

г) $((2 + \cos 25^\circ \cos 5^\circ - \sin 25^\circ \sin 5^\circ)^2 - 4.75)^2$

а) $((1 + \cos 44^\circ \cos 1^\circ - \sin 44^\circ \sin 1^\circ)^2 - 1,5)^2$

Для упрощения выражения в скобках воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.

В нашем случае $\alpha = 44^\circ$ и $\beta = 1^\circ$, поэтому:

$\cos 44^\circ \cos 1^\circ - \sin 44^\circ \sin 1^\circ = \cos(44^\circ + 1^\circ) = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$((1 + \frac{\sqrt{2}}{2})^2 - 1,5)^2$.

Раскроем квадрат суммы в скобках: $(1 + \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 1 + \sqrt{2} + \frac{2}{4} = 1 + \sqrt{2} + 0,5 = 1,5 + \sqrt{2}$.

Теперь подставим это обратно:

$((1,5 + \sqrt{2}) - 1,5)^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.

Ответ: 2

б) $((1 + \sin 57^\circ \cos 3^\circ + \cos 57^\circ \sin 3^\circ)^2 - 1,75)^2$

Воспользуемся формулой синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$.

Здесь $\alpha = 57^\circ$ и $\beta = 3^\circ$, получаем:

$\sin 57^\circ \cos 3^\circ + \cos 57^\circ \sin 3^\circ = \sin(57^\circ + 3^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим это значение в выражение:

$((1 + \frac{\sqrt{3}}{2})^2 - 1,75)^2$.

Раскроем квадрат суммы: $(1 + \frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 + \sqrt{3} + \frac{3}{4} = 1 + \sqrt{3} + 0,75 = 1,75 + \sqrt{3}$.

Подставим результат обратно в выражение:

$((1,75 + \sqrt{3}) - 1,75)^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$.

Ответ: 3

в) $((2 + \sin 41^\circ \cos 4^\circ + \cos 41^\circ \sin 4^\circ)^2 - 4,5)^2$

Снова используем формулу синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$.

При $\alpha = 41^\circ$ и $\beta = 4^\circ$ имеем:

$\sin 41^\circ \cos 4^\circ + \cos 41^\circ \sin 4^\circ = \sin(41^\circ + 4^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставляем в исходное выражение:

$((2 + \frac{\sqrt{2}}{2})^2 - 4,5)^2$.

Раскрываем квадрат суммы: $(2 + \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 4 + 2\sqrt{2} + \frac{2}{4} = 4 + 2\sqrt{2} + 0,5 = 4,5 + 2\sqrt{2}$.

Подставляем результат обратно:

$((4,5 + 2\sqrt{2}) - 4,5)^2 = (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$.

Ответ: 8

г) $((2 + \cos 25^\circ \cos 5^\circ - \sin 25^\circ \sin 5^\circ)^2 - 4,75)^2$

Используем формулу косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.

При $\alpha = 25^\circ$ и $\beta = 5^\circ$ имеем:

$\cos 25^\circ \cos 5^\circ - \sin 25^\circ \sin 5^\circ = \cos(25^\circ + 5^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставляем это значение в выражение:

$((2 + \frac{\sqrt{3}}{2})^2 - 4,75)^2$.

Раскрываем квадрат суммы: $(2 + \frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 4 + 2\sqrt{3} + \frac{3}{4} = 4 + 2\sqrt{3} + 0,75 = 4,75 + 2\sqrt{3}$.

Подставляем полученное значение обратно:

$((4,75 + 2\sqrt{3}) - 4,75)^2 = (2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$.

Ответ: 12