Номер 24.20, страница 152, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

24.20. Найдите значение выражения:

а) $((1 + \cos 44^\circ \cos 1^\circ - \sin 44^\circ \sin 1^\circ)^2 - 1.5)^2$

б) $((1 + \sin 57^\circ \cos 3^\circ + \cos 57^\circ \sin 3^\circ)^2 - 1.75)^2$

в) $((2 + \sin 41^\circ \cos 4^\circ + \cos 41^\circ \sin 4^\circ)^2 - 4.5)^2$

г) $((2 + \cos 25^\circ \cos 5^\circ - \sin 25^\circ \sin 5^\circ)^2 - 4.75)^2$

а) $((1 + \cos 44^\circ \cos 1^\circ - \sin 44^\circ \sin 1^\circ)^2 - 1,5)^2$

Для упрощения выражения в скобках воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.

В нашем случае $\alpha = 44^\circ$ и $\beta = 1^\circ$, поэтому:

$\cos 44^\circ \cos 1^\circ - \sin 44^\circ \sin 1^\circ = \cos(44^\circ + 1^\circ) = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$((1 + \frac{\sqrt{2}}{2})^2 - 1,5)^2$.

Раскроем квадрат суммы в скобках: $(1 + \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 1 + \sqrt{2} + \frac{2}{4} = 1 + \sqrt{2} + 0,5 = 1,5 + \sqrt{2}$.

Теперь подставим это обратно:

$((1,5 + \sqrt{2}) - 1,5)^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.

Ответ: 2

б) $((1 + \sin 57^\circ \cos 3^\circ + \cos 57^\circ \sin 3^\circ)^2 - 1,75)^2$

Воспользуемся формулой синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$.

Здесь $\alpha = 57^\circ$ и $\beta = 3^\circ$, получаем:

$\sin 57^\circ \cos 3^\circ + \cos 57^\circ \sin 3^\circ = \sin(57^\circ + 3^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим это значение в выражение:

$((1 + \frac{\sqrt{3}}{2})^2 - 1,75)^2$.

Раскроем квадрат суммы: $(1 + \frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 + \sqrt{3} + \frac{3}{4} = 1 + \sqrt{3} + 0,75 = 1,75 + \sqrt{3}$.

Подставим результат обратно в выражение:

$((1,75 + \sqrt{3}) - 1,75)^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$.

Ответ: 3

в) $((2 + \sin 41^\circ \cos 4^\circ + \cos 41^\circ \sin 4^\circ)^2 - 4,5)^2$

Снова используем формулу синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$.

При $\alpha = 41^\circ$ и $\beta = 4^\circ$ имеем:

$\sin 41^\circ \cos 4^\circ + \cos 41^\circ \sin 4^\circ = \sin(41^\circ + 4^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставляем в исходное выражение:

$((2 + \frac{\sqrt{2}}{2})^2 - 4,5)^2$.

Раскрываем квадрат суммы: $(2 + \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 4 + 2\sqrt{2} + \frac{2}{4} = 4 + 2\sqrt{2} + 0,5 = 4,5 + 2\sqrt{2}$.

Подставляем результат обратно:

$((4,5 + 2\sqrt{2}) - 4,5)^2 = (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$.

Ответ: 8

г) $((2 + \cos 25^\circ \cos 5^\circ - \sin 25^\circ \sin 5^\circ)^2 - 4,75)^2$

Используем формулу косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.

При $\alpha = 25^\circ$ и $\beta = 5^\circ$ имеем:

$\cos 25^\circ \cos 5^\circ - \sin 25^\circ \sin 5^\circ = \cos(25^\circ + 5^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставляем это значение в выражение:

$((2 + \frac{\sqrt{3}}{2})^2 - 4,75)^2$.

Раскрываем квадрат суммы: $(2 + \frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 4 + 2\sqrt{3} + \frac{3}{4} = 4 + 2\sqrt{3} + 0,75 = 4,75 + 2\sqrt{3}$.

Подставляем полученное значение обратно:

$((4,75 + 2\sqrt{3}) - 4,75)^2 = (2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$.

Ответ: 12