Номер 24.25, страница 153, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

24.25. a) $\sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{4}-x\right)-\cos x=0,5;$

б) $\sqrt{2} \sin \left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)+\sin \frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

a) $\sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{4} - x\right) - \cos x = 0,5$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$.

Применим эту формулу к выражению $\cos\left(\frac{\pi}{4} - x\right)$:

$\cos\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = \cos\frac{\pi}{4} \cos x + \sin\frac{\pi}{4} \sin x$

Поскольку $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$\cos\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x + \sin x)$

Теперь подставим это в исходное уравнение:

$\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x + \sin x) - \cos x = 0,5$

Упростим выражение:

$\frac{2}{2}(\cos x + \sin x) - \cos x = 0,5$

$\cos x + \sin x - \cos x = 0,5$

Приведя подобные слагаемые, получаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$\sin x = 0,5$

Решениями этого уравнения являются две серии корней, которые можно записать в виде одной общей формулы:

$x = (-1)^k \arcsin(0,5) + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$

$x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\sqrt{2} \sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) + \sin\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Для решения этого уравнения используем формулу синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$.

Применим эту формулу к выражению $\sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)$:

$\sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) = \sin\frac{\pi}{4} \cos\frac{x}{2} - \cos\frac{\pi}{4} \sin\frac{x}{2}$

Зная, что $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$\sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\frac{x}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2}\right)$

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2}\right) + \sin\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Упростим левую часть уравнения:

$\frac{2}{2}\left(\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2}\right) + \sin\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Приведя подобные слагаемые, получаем:

$\cos\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решим это простейшее тригонометрическое уравнение относительно $\frac{x}{2}$:

$\frac{x}{2} = \pm\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

$\frac{x}{2} = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

Теперь найдем $x$, умножив обе части на 2:

$x = 2 \cdot \left(\pm\frac{\pi}{6} + 2\pi n\right)$

$x = \pm\frac{\pi}{3} + 4\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{3} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.