Номер 24.24, страница 153, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Звавич Л. И., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Рязановский А. Р.
Тип: Учебник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Часть: 2
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04648-6 (общ.), 978-5-346-04649-3 (ч. 1), 978-5-346-04650-9 (ч. 2),
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 24. Синус и косинус суммы и разности аргументов. Глава 5. Преобразование тригонометрических выражений. Часть 2 - номер 24.24, страница 153.
№24.24 (с. 153)
Условие. №24.24 (с. 153)
скриншот условия

24.24. Найдите корни уравнения на заданном промежутке:
a) $ \sin 0.2x \cos 0.8x + \cos 0.2x \sin 0.8x = $
$ = \cos 3x \cos 2x + \sin 3x \sin 2x, x \in [0, 3\pi]; $
б) $ \cos 0.7x \cos 1.3x - \sin 0.7x \sin 1.3x = $
$ = \sin 7x \cos 9x - \sin 9x \cos 7x, x \in [-\pi, \pi]. $
Решение 1. №24.24 (с. 153)


Решение 2. №24.24 (с. 153)


Решение 3. №24.24 (с. 153)
а) $\sin 0,2x \cos 0,8x + \cos 0,2x \sin 0,8x = \cos 3x \cos 2x + \sin 3x \sin 2x, x \in [0; 3\pi]$
Для упрощения левой и правой частей уравнения воспользуемся тригонометрическими формулами сложения:
- Формула синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$
- Формула косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$
Применим формулу синуса суммы к левой части уравнения, где $\alpha = 0,2x$ и $\beta = 0,8x$:
$\sin 0,2x \cos 0,8x + \cos 0,2x \sin 0,8x = \sin(0,2x + 0,8x) = \sin x$
Применим формулу косинуса разности к правой части уравнения, где $\alpha = 3x$ и $\beta = 2x$:
$\cos 3x \cos 2x + \sin 3x \sin 2x = \cos(3x - 2x) = \cos x$
Таким образом, исходное уравнение сводится к простейшему тригонометрическому уравнению:
$\sin x = \cos x$
Разделим обе части уравнения на $\cos x$, при условии, что $\cos x \neq 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$, и равенство $0 = \pm 1$ невозможно. Следовательно, деление на $\cos x$ не приводит к потере корней.
$\frac{\sin x}{\cos x} = 1$
$\tan x = 1$
Общее решение этого уравнения имеет вид: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Теперь найдем корни, принадлежащие заданному промежутку $x \in [0; 3\pi]$. Для этого решим двойное неравенство:
$0 \le \frac{\pi}{4} + \pi n \le 3\pi$
Разделим все части неравенства на $\pi$:
$0 \le \frac{1}{4} + n \le 3$
Вычтем $\frac{1}{4}$ из всех частей:
$-\frac{1}{4} \le n \le 3 - \frac{1}{4}$
$-0,25 \le n \le 2,75$
Целочисленные значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству: $n = 0, 1, 2$.
Найдем соответствующие значения $x$:
- При $n=0$: $x = \frac{\pi}{4} + 0 \cdot \pi = \frac{\pi}{4}$
- При $n=1$: $x = \frac{\pi}{4} + 1 \cdot \pi = \frac{5\pi}{4}$
- При $n=2$: $x = \frac{\pi}{4} + 2 \cdot \pi = \frac{9\pi}{4}$
Все найденные значения принадлежат отрезку $[0; 3\pi]$.
Ответ: $\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}$.
б) $\cos 0,7x \cos 1,3x - \sin 0,7x \sin 1,3x = \sin 7x \cos 9x - \sin 9x \cos 7x, x \in [-\pi; \pi]$
Для упрощения уравнения воспользуемся следующими тригонометрическими формулами:
- Формула косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$
- Формула синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$
Применим формулу косинуса суммы к левой части уравнения, где $\alpha = 0,7x$ и $\beta = 1,3x$:
$\cos 0,7x \cos 1,3x - \sin 0,7x \sin 1,3x = \cos(0,7x + 1,3x) = \cos(2x)$
Применим формулу синуса разности к правой части уравнения, где $\alpha = 7x$ и $\beta = 9x$:
$\sin 7x \cos 9x - \sin 9x \cos 7x = \sin(7x - 9x) = \sin(-2x)$
Используя свойство нечетности синуса $\sin(-\theta) = -\sin\theta$, получаем: $\sin(-2x) = -\sin(2x)$.
Исходное уравнение принимает вид:
$\cos(2x) = -\sin(2x)$
Разделим обе части на $\cos(2x)$, убедившись, что $\cos(2x) \neq 0$. Если $\cos(2x) = 0$, то $\sin(2x) = \pm 1$, и равенство $0 = \mp 1$ неверно. Значит, деление возможно.
$1 = -\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}$
$\tan(2x) = -1$
Общее решение этого уравнения:
$2x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$
Теперь найдем корни, принадлежащие заданному промежутку $x \in [-\pi; \pi]$. Решим двойное неравенство:
$-\pi \le -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2} \le \pi$
Разделим все части неравенства на $\pi$:
$-1 \le -\frac{1}{8} + \frac{k}{2} \le 1$
Прибавим $\frac{1}{8}$ ко всем частям:
$-1 + \frac{1}{8} \le \frac{k}{2} \le 1 + \frac{1}{8}$
$-\frac{7}{8} \le \frac{k}{2} \le \frac{9}{8}$
Умножим все части на 2:
$-\frac{14}{8} \le k \le \frac{18}{8}$
$-1,75 \le k \le 2,25$
Целочисленные значения $k$, удовлетворяющие этому неравенству: $k = -1, 0, 1, 2$.
Найдем соответствующие значения $x$:
- При $k=-1$: $x = -\frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{8} - \frac{4\pi}{8} = -\frac{5\pi}{8}$
- При $k=0$: $x = -\frac{\pi}{8} + 0 = -\frac{\pi}{8}$
- При $k=1$: $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{8} + \frac{4\pi}{8} = \frac{3\pi}{8}$
- При $k=2$: $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{2\pi}{2} = -\frac{\pi}{8} + \pi = \frac{7\pi}{8}$
Все найденные значения принадлежат отрезку $[-\pi; \pi]$.
Ответ: $-\frac{5\pi}{8}, -\frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}, \frac{7\pi}{8}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 24.24 расположенного на странице 153 для 2-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №24.24 (с. 153), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Звавич (Леонид Исаакович), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Рязановский (А Р), 2-й части ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.