Номер 24.24, страница 153, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 5. Преобразование тригонометрических выражений. Параграф 24. Синус и косинус суммы и разности аргументов - номер 24.24, страница 153.

Условие.

24.24. Найдите корни уравнения на заданном промежутке:

a) $ \sin 0.2x \cos 0.8x + \cos 0.2x \sin 0.8x = $

$ = \cos 3x \cos 2x + \sin 3x \sin 2x, x \in [0, 3\pi]; $

б) $ \cos 0.7x \cos 1.3x - \sin 0.7x \sin 1.3x = $

$ = \sin 7x \cos 9x - \sin 9x \cos 7x, x \in [-\pi, \pi]. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

а) $\sin 0,2x \cos 0,8x + \cos 0,2x \sin 0,8x = \cos 3x \cos 2x + \sin 3x \sin 2x, x \in [0; 3\pi]$

Для упрощения левой и правой частей уравнения воспользуемся тригонометрическими формулами сложения:

• Формула синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$
• Формула косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$

Применим формулу синуса суммы к левой части уравнения, где $\alpha = 0,2x$ и $\beta = 0,8x$:

$\sin 0,2x \cos 0,8x + \cos 0,2x \sin 0,8x = \sin(0,2x + 0,8x) = \sin x$

Применим формулу косинуса разности к правой части уравнения, где $\alpha = 3x$ и $\beta = 2x$:

$\cos 3x \cos 2x + \sin 3x \sin 2x = \cos(3x - 2x) = \cos x$

Таким образом, исходное уравнение сводится к простейшему тригонометрическому уравнению:

$\sin x = \cos x$

Разделим обе части уравнения на $\cos x$, при условии, что $\cos x \neq 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$, и равенство $0 = \pm 1$ невозможно. Следовательно, деление на $\cos x$ не приводит к потере корней.

$\frac{\sin x}{\cos x} = 1$

$\tan x = 1$

Общее решение этого уравнения имеет вид: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем корни, принадлежащие заданному промежутку $x \in [0; 3\pi]$. Для этого решим двойное неравенство:

$0 \le \frac{\pi}{4} + \pi n \le 3\pi$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$0 \le \frac{1}{4} + n \le 3$

Вычтем $\frac{1}{4}$ из всех частей:

$-\frac{1}{4} \le n \le 3 - \frac{1}{4}$

$-0,25 \le n \le 2,75$

Целочисленные значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству: $n = 0, 1, 2$.

Найдем соответствующие значения $x$:

• При $n=0$: $x = \frac{\pi}{4} + 0 \cdot \pi = \frac{\pi}{4}$
• При $n=1$: $x = \frac{\pi}{4} + 1 \cdot \pi = \frac{5\pi}{4}$
• При $n=2$: $x = \frac{\pi}{4} + 2 \cdot \pi = \frac{9\pi}{4}$

Все найденные значения принадлежат отрезку $[0; 3\pi]$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}$.

б) $\cos 0,7x \cos 1,3x - \sin 0,7x \sin 1,3x = \sin 7x \cos 9x - \sin 9x \cos 7x, x \in [-\pi; \pi]$

Для упрощения уравнения воспользуемся следующими тригонометрическими формулами:

• Формула косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$
• Формула синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$

Применим формулу косинуса суммы к левой части уравнения, где $\alpha = 0,7x$ и $\beta = 1,3x$:

$\cos 0,7x \cos 1,3x - \sin 0,7x \sin 1,3x = \cos(0,7x + 1,3x) = \cos(2x)$

Применим формулу синуса разности к правой части уравнения, где $\alpha = 7x$ и $\beta = 9x$:

$\sin 7x \cos 9x - \sin 9x \cos 7x = \sin(7x - 9x) = \sin(-2x)$

Используя свойство нечетности синуса $\sin(-\theta) = -\sin\theta$, получаем: $\sin(-2x) = -\sin(2x)$.

Исходное уравнение принимает вид:

$\cos(2x) = -\sin(2x)$

Разделим обе части на $\cos(2x)$, убедившись, что $\cos(2x) \neq 0$. Если $\cos(2x) = 0$, то $\sin(2x) = \pm 1$, и равенство $0 = \mp 1$ неверно. Значит, деление возможно.

$1 = -\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}$

$\tan(2x) = -1$

Общее решение этого уравнения:

$2x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Теперь найдем корни, принадлежащие заданному промежутку $x \in [-\pi; \pi]$. Решим двойное неравенство:

$-\pi \le -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2} \le \pi$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$-1 \le -\frac{1}{8} + \frac{k}{2} \le 1$

Прибавим $\frac{1}{8}$ ко всем частям:

$-1 + \frac{1}{8} \le \frac{k}{2} \le 1 + \frac{1}{8}$

$-\frac{7}{8} \le \frac{k}{2} \le \frac{9}{8}$

Умножим все части на 2:

$-\frac{14}{8} \le k \le \frac{18}{8}$

$-1,75 \le k \le 2,25$

Целочисленные значения $k$, удовлетворяющие этому неравенству: $k = -1, 0, 1, 2$.

Найдем соответствующие значения $x$:

• При $k=-1$: $x = -\frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{8} - \frac{4\pi}{8} = -\frac{5\pi}{8}$
• При $k=0$: $x = -\frac{\pi}{8} + 0 = -\frac{\pi}{8}$
• При $k=1$: $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{8} + \frac{4\pi}{8} = \frac{3\pi}{8}$
• При $k=2$: $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{2\pi}{2} = -\frac{\pi}{8} + \pi = \frac{7\pi}{8}$

Все найденные значения принадлежат отрезку $[-\pi; \pi]$.

Ответ: $-\frac{5\pi}{8}, -\frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}, \frac{7\pi}{8}$.