Номер 24.28, страница 154, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

24.28. Зная, что $ \sin t = \frac{3}{5}, 0 < t < \frac{\pi}{2} $, вычислите:

а) $ \sin \left(\frac{\pi}{3} + t\right) $;

б) $ \cos \left(\frac{\pi}{2} + t\right) $;

в) $ \sin \left(\frac{\pi}{2} + t\right) $;

г) $ \cos \left(\frac{\pi}{3} + t\right) $.

Дано: $ \sin t = \frac{3}{5} $ и $ 0 < t < \frac{\pi}{2} $. Это означает, что угол $t$ находится в первой четверти, где все тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс) положительны.

Для решения задачи нам понадобится значение $ \cos t $. Найдем его, используя основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $.

$ \cos^2 t = 1 - \sin^2 t = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25 - 9}{25} = \frac{16}{25} $.

Отсюда $ \cos t = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5} $.

Поскольку угол $t$ находится в первой четверти ($ 0 < t < \frac{\pi}{2} $), косинус должен быть положительным. Следовательно, $ \cos t = \frac{4}{5} $.

Теперь мы можем вычислить требуемые значения.

а) Вычислим $ \sin(\frac{\pi}{3} + t) $.

Используем формулу синуса суммы: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $.

$ \sin(\frac{\pi}{3} + t) = \sin\frac{\pi}{3} \cos t + \cos\frac{\pi}{3} \sin t $.

Мы знаем, что $ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $. Подставим все известные значения:

$ \sin(\frac{\pi}{3} + t) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{4\sqrt{3}}{10} + \frac{3}{10} = \frac{4\sqrt{3} + 3}{10} $.

Ответ: $ \frac{3 + 4\sqrt{3}}{10} $.

б) Вычислим $ \cos(\frac{\pi}{2} + t) $.

Используем формулу приведения: $ \cos(\frac{\pi}{2} + t) = -\sin t $.

Подставляем известное значение $ \sin t $:

$ \cos(\frac{\pi}{2} + t) = -\frac{3}{5} $.

Ответ: $ -\frac{3}{5} $.

в) Вычислим $ \sin(\frac{\pi}{2} + t) $.

Используем формулу приведения: $ \sin(\frac{\pi}{2} + t) = \cos t $.

Подставляем найденное ранее значение $ \cos t $:

$ \sin(\frac{\pi}{2} + t) = \frac{4}{5} $.

Ответ: $ \frac{4}{5} $.

г) Вычислим $ \cos(\frac{\pi}{3} + t) $.

Используем формулу косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $.

$ \cos(\frac{\pi}{3} + t) = \cos\frac{\pi}{3} \cos t - \sin\frac{\pi}{3} \sin t $.

Подставляем все известные значения:

$ \cos(\frac{\pi}{3} + t) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{4}{10} - \frac{3\sqrt{3}}{10} = \frac{4 - 3\sqrt{3}}{10} $.

Ответ: $ \frac{4 - 3\sqrt{3}}{10} $.