Номер 24.33, страница 154, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

24.33. Зная, что $\sin t = \frac{5}{13}$, $\frac{\pi}{2} < t < \pi$, вычислите:

a) $\sin\left(\frac{\pi}{3} - t\right)$;

б) $\cos\left(t - \frac{\pi}{2}\right)$;

в) $\sin\left(\frac{\pi}{2} - t\right)$;

г) $\cos\left(\frac{\pi}{3} - t\right)$.

По условию $sin(t) = \frac{5}{13}$ и $\frac{\pi}{2} < t < \pi$. Этот интервал соответствует второй координатной четверти, где синус положителен, а косинус отрицателен.
Найдем $cos(t)$ из основного тригонометрического тождества $sin^2(t) + cos^2(t) = 1$:
$cos^2(t) = 1 - sin^2(t) = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$.
$cos(t) = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13}$.
Поскольку $t$ находится во второй четверти, выбираем отрицательное значение: $cos(t) = -\frac{12}{13}$.

а) Вычислим $sin(\frac{\pi}{3} - t)$ по формуле синуса разности $sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$:
$sin(\frac{\pi}{3} - t) = sin(\frac{\pi}{3})cos(t) - cos(\frac{\pi}{3})sin(t) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{12}{13}) - \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{13} = -\frac{12\sqrt{3}}{26} - \frac{5}{26} = -\frac{5 + 12\sqrt{3}}{26}$.
Ответ: $-\frac{5 + 12\sqrt{3}}{26}$.

б) Вычислим $cos(t - \frac{\pi}{2})$. Используя свойство четности косинуса и формулу приведения, получаем:
$cos(t - \frac{\pi}{2}) = cos(-(\frac{\pi}{2} - t)) = cos(\frac{\pi}{2} - t) = sin(t)$.
Подставляем известное значение $sin(t)$: $cos(t - \frac{\pi}{2}) = \frac{5}{13}$.
Ответ: $\frac{5}{13}$.

в) Вычислим $sin(\frac{\pi}{2} - t)$. По формуле приведения $sin(\frac{\pi}{2} - t) = cos(t)$.
Мы уже нашли, что $cos(t) = -\frac{12}{13}$.
Ответ: $-\frac{12}{13}$.

г) Вычислим $cos(\frac{\pi}{3} - t)$ по формуле косинуса разности $cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)$:
$cos(\frac{\pi}{3} - t) = cos(\frac{\pi}{3})cos(t) + sin(\frac{\pi}{3})sin(t) = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{12}{13}) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5}{13} = -\frac{12}{26} + \frac{5\sqrt{3}}{26} = \frac{5\sqrt{3} - 12}{26}$.
Ответ: $\frac{5\sqrt{3} - 12}{26}$.