Номер 24.38, страница 155, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

24.38. a) $ \sin x \cos 3x + \cos x \sin 3x > \frac{1}{2} $

б) $ \cos 2x \cos 5x - \sin 2x \sin 5x < -\frac{1}{3} $

в) $ \sin x \cos \frac{x}{2} + \cos x \sin \frac{x}{2} \le -\frac{2}{7} $

г) $ \cos \frac{x}{2} \cos \frac{x}{4} - \sin \frac{x}{2} \sin \frac{x}{4} > \frac{\sqrt{2}}{2} $

а)

Исходное неравенство: $\sin x \cos 3x + \cos x \sin 3x > \frac{1}{2}$.

Левая часть неравенства соответствует формуле синуса суммы углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$.

Применим эту формулу для $\alpha = x$ и $\beta = 3x$. Неравенство преобразуется к виду: $\sin(x + 3x) > \frac{1}{2}$, что эквивалентно $\sin(4x) > \frac{1}{2}$.

Для решения этого неравенства сначала найдём значения, при которых $\sin(4x) = \frac{1}{2}$. Это происходит при $4x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $4x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Неравенство $\sin(4x) > \frac{1}{2}$ выполняется, когда аргумент $4x$ находится в интервале между этими значениями. Таким образом, получаем двойное неравенство: $\frac{\pi}{6} + 2\pi k < 4x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.

Разделив все части неравенства на 4, получаем решение для $x$: $\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2} < x < \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}; \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{2})$, $k \in \mathbb{Z}$.

б)

Исходное неравенство: $\cos 2x \cos 5x - \sin 2x \sin 5x < -\frac{1}{3}$.

Левая часть неравенства представляет собой формулу косинуса суммы углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.

Применим эту формулу для $\alpha = 2x$ и $\beta = 5x$. Неравенство преобразуется к виду: $\cos(2x + 5x) < -\frac{1}{3}$, то есть $\cos(7x) < -\frac{1}{3}$.

Решение неравенства $\cos t < c$ (где $t=7x$ и $c = -1/3$) имеет вид $\arccos(c) + 2\pi k < t < 2\pi - \arccos(c) + 2\pi k$.

Подставляя $c = -\frac{1}{3}$, получаем: $\arccos(-\frac{1}{3}) + 2\pi k < 7x < 2\pi - \arccos(-\frac{1}{3}) + 2\pi k$.

Используем свойство арккосинуса: $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$. Тогда неравенство принимает вид: $\pi - \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi k < 7x < 2\pi - (\pi - \arccos(\frac{1}{3})) + 2\pi k$, что упрощается до $\pi - \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi k < 7x < \pi + \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi k$.

Разделив все части на 7, находим решение для $x$: $\frac{\pi - \arccos(\frac{1}{3})}{7} + \frac{2\pi k}{7} < x < \frac{\pi + \arccos(\frac{1}{3})}{7} + \frac{2\pi k}{7}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{7} - \frac{1}{7}\arccos\frac{1}{3} + \frac{2\pi k}{7}; \frac{\pi}{7} + \frac{1}{7}\arccos\frac{1}{3} + \frac{2\pi k}{7})$, $k \in \mathbb{Z}$.

в)

Исходное неравенство: $\sin x \cos \frac{x}{2} + \cos x \sin \frac{x}{2} \le -\frac{2}{7}$.

Применяем формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$ для $\alpha = x$ и $\beta = \frac{x}{2}$: $\sin(x + \frac{x}{2}) \le -\frac{2}{7}$, что равносильно $\sin(\frac{3x}{2}) \le -\frac{2}{7}$.

Решение неравенства $\sin t \le c$ (где $t = \frac{3x}{2}$ и $c = -\frac{2}{7}$) имеет вид $\pi - \arcsin(c) + 2\pi k \le t \le 2\pi + \arcsin(c) + 2\pi k$.

Подставляя $c = -\frac{2}{7}$ и используя свойство $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$, получаем: $\pi - \arcsin(-\frac{2}{7}) + 2\pi k \le \frac{3x}{2} \le 2\pi + \arcsin(-\frac{2}{7}) + 2\pi k$.

Это неравенство преобразуется к виду: $\pi + \arcsin(\frac{2}{7}) + 2\pi k \le \frac{3x}{2} \le 2\pi - \arcsin(\frac{2}{7}) + 2\pi k$.

Умножим все части неравенства на $\frac{2}{3}$, чтобы выразить $x$: $\frac{2}{3}(\pi + \arcsin(\frac{2}{7})) + \frac{4\pi k}{3} \le x \le \frac{2}{3}(2\pi - \arcsin(\frac{2}{7})) + \frac{4\pi k}{3}$.

Упрощая, получаем окончательное решение: $\frac{2\pi}{3} + \frac{2}{3}\arcsin(\frac{2}{7}) + \frac{4\pi k}{3} \le x \le \frac{4\pi}{3} - \frac{2}{3}\arcsin(\frac{2}{7}) + \frac{4\pi k}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{2\pi}{3} + \frac{2}{3}\arcsin\frac{2}{7} + \frac{4\pi k}{3}; \frac{4\pi}{3} - \frac{2}{3}\arcsin\frac{2}{7} + \frac{4\pi k}{3}]$, $k \in \mathbb{Z}$.

г)

Исходное неравенство: $\cos \frac{x}{2} \cos \frac{x}{4} - \sin \frac{x}{2} \sin \frac{x}{4} > \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Используем формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$ для $\alpha = \frac{x}{2}$ и $\beta = \frac{x}{4}$: $\cos(\frac{x}{2} + \frac{x}{4}) > \frac{\sqrt{2}}{2}$, что равносильно $\cos(\frac{3x}{4}) > \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решение неравенства $\cos t > c$ (где $t=\frac{3x}{4}$ и $c=\frac{\sqrt{2}}{2}$) имеет вид $-\arccos(c) + 2\pi k < t < \arccos(c) + 2\pi k$.

Так как $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$, получаем: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k < \frac{3x}{4} < \frac{\pi}{4} + 2\pi k$.

Умножим все части неравенства на $\frac{4}{3}$, чтобы найти $x$: $\frac{4}{3}(-\frac{\pi}{4} + 2\pi k) < x < \frac{4}{3}(\frac{\pi}{4} + 2\pi k)$.

После упрощения получаем: $-\frac{\pi}{3} + \frac{8\pi k}{3} < x < \frac{\pi}{3} + \frac{8\pi k}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{3} + \frac{8\pi k}{3}; \frac{\pi}{3} + \frac{8\pi k}{3})$, $k \in \mathbb{Z}$.