Номер 24.44, страница 156, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

24.44. Сравните числа a и b, если:

а) $a = \frac{\sin 3}{\sin 4}$, $b = \frac{\cos 3}{\cos 4}$;

б) $a = \frac{\sin 4}{\cos 5}$, $b = \frac{\cos 4}{\sin 5}$.

а) $a = \frac{\sin 3}{\sin 4}$, $b = \frac{\cos 3}{\cos 4}$

Для сравнения чисел $a$ и $b$ определим их знаки. Аргументы тригонометрических функций даны в радианах. Для определения знаков воспользуемся единичной окружностью и приближенными значениями: $\pi \approx 3,14$, $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$, $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$.

1. Определим знаки тригонометрических функций для угла 3 радиана.
Поскольку $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$ (т.е. $1,57 < 3 < 3,14$), угол 3 радиана находится во второй координатной четверти. В этой четверти синус положителен, а косинус отрицателен. Следовательно, $\sin 3 > 0$ и $\cos 3 < 0$.

2. Определим знаки тригонометрических функций для угла 4 радиана.
Поскольку $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$ (т.е. $3,14 < 4 < 4,71$), угол 4 радиана находится в третьей координатной четверти. В этой четверти и синус, и косинус отрицательны. Следовательно, $\sin 4 < 0$ и $\cos 4 < 0$.

3. Теперь определим знаки чисел $a$ и $b$.
$a = \frac{\sin 3}{\sin 4} = \frac{\text{положительное}}{\text{отрицательное}}$, значит $a < 0$.
$b = \frac{\cos 3}{\cos 4} = \frac{\text{отрицательное}}{\text{отрицательное}}$, значит $b > 0$.

Так как $a$ - отрицательное число, а $b$ - положительное, то $a < b$.

Ответ: $a < b$.

б) $a = \frac{\sin 4}{\cos 5}$, $b = \frac{\cos 4}{\sin 5}$

Действуем аналогично предыдущему пункту, определяя знаки чисел $a$ и $b$. Используем те же приближенные значения: $\pi \approx 3,14$, $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$, $2\pi \approx 6,28$.

1. Определим знаки тригонометрических функций для угла 4 радиана.
Как мы уже установили в пункте а), угол 4 радиана находится в третьей координатной четверти, поэтому $\sin 4 < 0$ и $\cos 4 < 0$.

2. Определим знаки тригонометрических функций для угла 5 радиан.
Поскольку $\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$ (т.е. $4,71 < 5 < 6,28$), угол 5 радиан находится в четвертой координатной четверти. В этой четверти синус отрицателен, а косинус положителен. Следовательно, $\sin 5 < 0$ и $\cos 5 > 0$.

3. Теперь определим знаки чисел $a$ и $b$.
$a = \frac{\sin 4}{\cos 5} = \frac{\text{отрицательное}}{\text{положительное}}$, значит $a < 0$.
$b = \frac{\cos 4}{\sin 5} = \frac{\text{отрицательное}}{\text{отрицательное}}$, значит $b > 0$.

Так как $a$ - отрицательное число, а $b$ - положительное, то $a < b$.

Ответ: $a < b$.