Номер 24.43, страница 156, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

24.43. Сравните числа $a = \sin x \cos 2x$ и $b = \sin 3x$, если:

а) $\frac{\pi}{2} < x < \pi$;

б) $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$.

Чтобы сравнить числа $a = \sin x \cos 2x$ и $b = \sin 3x$, найдем их разность $b - a$.

Для преобразования выражения $b$ воспользуемся формулой синуса суммы углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$.

Представим $\sin 3x$ как $\sin(2x + x)$:

$b = \sin 3x = \sin(2x + x) = \sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x$.

Теперь найдем разность $b - a$:

$b - a = (\sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x) - \sin x \cos 2x = \sin 2x \cos x$.

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:

$b - a = (2 \sin x \cos x) \cos x = 2 \sin x \cos^2 x$.

Теперь знак разности $b - a$ зависит от знака выражения $2 \sin x \cos^2 x$. Так как $2 > 0$ и $\cos^2 x \ge 0$, знак разности определяется знаком $\sin x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$).

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) $ \frac{\pi}{2} < x < \pi$

Этот интервал соответствует второй координатной четверти. В этой четверти синус положителен, а косинус отрицателен.

1. $\sin x > 0$.

2. $\cos x < 0$, но $\cos^2 x > 0$, так как в данном открытом интервале $x \neq \frac{\pi}{2}$.

Следовательно, разность $b - a = 2 \sin x \cos^2 x$ является произведением трех положительных сомножителей (2, $\sin x$ и $\cos^2 x$), поэтому $b - a > 0$.

Из $b - a > 0$ следует, что $b > a$.

Ответ: $a < b$.

б) $ \pi < x < \frac{3\pi}{2}$

Этот интервал соответствует третьей координатной четверти. В этой четверти и синус, и косинус отрицательны.

1. $\sin x < 0$.

2. $\cos x < 0$, но $\cos^2 x > 0$, так как в данном открытом интервале $x \neq \frac{3\pi}{2}$.

Следовательно, разность $b - a = 2 \sin x \cos^2 x$ является произведением положительного числа (2), отрицательного числа ($\sin x$) и положительного числа ($\cos^2 x$), поэтому $b - a < 0$.

Из $b - a < 0$ следует, что $b < a$.

Ответ: $a > b$.